Nimmt der Unitary-Operator einen reinen Zustand in einen reinen Zustand oder kann er einen reinen Zustand in einen gemischten Zustand überführen? [geschlossen]

Ein einheitlicher Operator$U$kann nur einen reinen Zustand annehmen$|\psi \rangle$in einen reinen Zustand. Lassen$U | \psi \rangle = | \psi' \rangle$. Dann handeln die unitären$U$auf den reinen Zustand$| \psi \rangle$Erträge

$$U \left( | \psi \rangle \langle \psi | \right) U^\dagger = | \psi' \rangle \langle \psi' |,$$

was ein reiner Zustand ist.

Eine andere Möglichkeit, dies zu sehen, ist eine (normalisierte) Dichtematrix$\rho$ist rein, wenn seine "Reinheit"$\mathrm{Tr}\, \rho^2 = 1$. Handeln mit einem einheitlichen$U$ergibt eine neue Dichtematrix mit

$$\mathrm{Tr}\, \left[ \left( U \rho U^\dagger \right)^2 \right] = \mathrm{Tr}\, \left[ U \rho U^\dagger U \rho U^\dagger \right] = \mathrm{Tr}\, \left[ U \rho^2 U^\dagger \right] = \mathrm{Tr}\, \left[ \rho^2 U^\dagger U \right] = \mathrm{Tr}\, \left[ \rho^2 \right],$$

Einheitsoperatoren bewahren also die Reinheit eines Zustands, und der neue Zustand ist genau dann rein, wenn der ursprüngliche es war. (Tatsächlich bewahren unitäre Operatoren das gesamte Eigenwertspektrum von$\rho$, manchmal auch als „Schmidt-Gewichte“ oder „Verschränkungsspektrum“ bezeichnet.)

(Diese einfache Tatsache steht im Mittelpunkt mehrerer offener Bereiche der physikalischen Forschung. Zum Beispiel ist es nicht von vornherein offensichtlich, wie ein System, das sich anfänglich in einem reinen Zustand befindet, jemals unter der (einheitlichen) Schrödinger-Zeitentwicklung thermalisieren könnte, da die thermische Dichtematrix$e^{-\beta H}/Z$wird bei endlicher Temperatur gemischt. Die "Eigenzustands-Thermalisierungshypothese" versucht, dieses Problem anzugehen, indem sie postuliert, dass ein typischer Energie-Eigenzustand eines nicht integrierbaren Hamilton-Operators für lokale Operatoren wie der eines thermisch gemischten Zustands "aussieht", obwohl er global ein reiner Zustand bleibt. Ein weiterer offensichtlicher Widerspruch ist das „Schwarze-Loch-Informationsparadoxon“: Die Bildung eines Schwarzen Lochs in einem anfänglich reinen Zustand würde naiv scheinen zu implizieren, dass es sich in einen gemischten Zustand entwickelt, wenn Sie die Informationen, die hineinfallen, aus den Augen verlieren – aber das ist unmöglich unter einheitlicher Zeitentwicklung.)

Es scheint, dass Sie mit "Operator" einen Zeitentwicklungsoperator meinen$\exp\left(\frac{i}{\hbar}\,H\,t\right)$Wo$H$ist der Hamiltonoperator eines Quantensystems, und ein solcher Operator bildet per Definition immer einen reinen Quantenzustand auf einen anderen reinen Quantenzustand ab (wirkt darauf ein). Einheitliche Evolution ist das, was passiert, wenn die Quantenmessung dies nicht tut. Ihre Aussage " Ich gehe davon aus, dass der Unitary-Operator nur auf einen reinen Zustand wirkt " ist die richtige.

Abgesehen davon kann man sich den unitären Zeitentwicklungsoperator als implizit bei der Berechnung der Entwicklung eines gemischten Zustands vorstellen. Konzeptionell ( dh die Praxis ist anders), um die Entwicklung eines solchen Zustands zu berechnen, berechnen wir die Entwicklung aller reinen Zustände in der Mischung separat. Angenommen, wir haben ein System gemischter reiner Zustände$\psi_k$mit Wahrscheinlichkeit$p_k$in jedem sein, und wir wollen die Messstatistik kennen, wenn wir eine Observable vermitteln$\hat{A}$nach der Zeit$t$. Wir berechnen die Evolution unter der Annahme, dass sich das System im In-Zustand befindet$k$sein$\exp\left(\frac{i}{\hbar}\,H\,t\right)\,\psi_k$. Dann berechnen wir die Statistik: die Bedingung$n^{th}$Moment (bedingt durch die Annahme des$k^{th}$Reinzustand) der Messung sein

$$M_{n\,k}=\left.\left<\psi_k\,\exp\left(\frac{i}{\hbar}\,H\,t\right)\dagger\right.\right|\hat{A}^n\left|\left.\,\exp\left(\frac{i}{\hbar}\,H\,t\right)\,\psi_k\right>\right.$$

und dann summieren wir all diese bedingten Momente wie in der klassischen Statistik, um das Gesamtergebnis zu erhalten$n^{th}$Moment:

$$M_n=\sum\limits_k p_k\,M_{n\,k}$$

In der Praxis ist es jedoch viel einfacher, die Dichtematrix einfach zu berechnen $\rho = \sum\limits_k p_k\,|\psi_k\rangle\langle\psi_k|$, berechnen Sie die Entwicklung dieses Objekts mit der Liouville-von-Neumann-Gleichung:

$$i \hbar \frac{\partial \rho}{\partial t} = [H,\rho]$$

und verwenden Sie dann die Trace-Formel, um den Gesamtwert zu erhalten$n^{th}$Moment aus der evolvierten Dichtematrix:

$$M_n = \mathrm{tr}(\rho\,\hat{A}^n)$$

Diese zwei Verfahren sind leicht als äquivalent zu zeigen.

Denken Sie daran: Ungeachtet ihres leicht irreführenden Namens „Matrix“ (mit den Konnotationen des Wortes „Abbildung“ und „Operator“) zeichnet die Dichtematrix einen gemischten Quantenzustand auf .

Ein interessanter Nebeneffekt ist, dass jeder gemischte Zustand eines endlichdimensionalen Quantensystems auch als Teil eines reinen Zustands (eines "reduzierten reinen Zustands") eines größeren endlichdimensionalen Quantensystems betrachtet werden kann; Schlagen Sie den Begriff der Quantenreinigung nach , um weitere Informationen zu erhalten.