Was ist der qualitative Unterschied zwischen Quantenüberlagerung und gemischten Zuständen? [Duplikat]

Ein reiner Zustand ist eine lineare Kombination von Basiszuständen$|\psi\rangle = \sum_k c_k |b_k\rangle$. Ein reiner Zustand hat Einheit 2-Norm; Reine Zustände kümmern sich um das quadratische Gewicht$\sum_k |c_k|^2=1$. Das bedeutet, dass die Gewichte Amplituden sind .

Ein gemischter Zustand ist eine Linearkombination adjungierter quadrierter reiner Zustände$\rho = \sum_k p_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k|$. Ein gemischter Zustand hat Einheit 1-Norm; gemischte Zustände kümmern sich um das lineare Gewicht$\sum_k p_k = 1$. Das heißt, die Gewichte sind Wahrscheinlichkeiten .

Entsprechend ist ein gemischter Zustand eine Wahrscheinlichkeitsverteilung reiner Zustände. Wenn Sie sich nicht sicher sind, in welchem ​​reinen Zustand sich das System befindet, wird Ihre Vorhersagefähigkeit durch einen gemischten Zustand beschrieben.

Entsprechend ist ein gemischter Zustand das, was Sie erhalten, wenn Sie einen reinen Zustand an den Rand drängen . Wenn Sie keinen Zugriff auf einige Qubits haben, mit denen Ihr System verflochten ist, wird Ihre Vorhersagefähigkeit durch einen gemischten Zustand beschrieben.

Sie können einen reinen Zustand als gemischten Zustand mit einem einzigen 100 %-wahrscheinlichen reinen Zustand darstellen (dh als Dichtematrix mit einem einzelnen Nicht-Null-Eigenwert gleich 1).

Sie können einen gemischten Zustand als reinen Zustand darstellen, indem Sie zusätzliche Qubits hinzufügen (dh Reinigung ).

Da jeder den anderen repräsentieren kann, sind sich die Menschen uneinig darüber, ob es sich bei der grundlegenden Sache um gemischte Zustände oder reine Zustände handelt. Zum Glück ist es der Mathematik egal.

Ich werde versuchen, den Unterschied zwischen reinen und gemischten Zuständen auf eine eher intuitive Weise zu erklären.

Nehmen wir zunächst das einfache Beispiel eines einzelnen Spin-1/2-Teilchens. Seine reinen Zustände können immer als Überlagerungen von Spin-up- und Spin-down-Zuständen geschrieben werden, die entlang einer bestimmten Richtung gemessen werden$z$. Das heißt, wir schreiben$|\psi\rangle = a |\uparrow_z\rangle + b|\downarrow_z\rangle$und interpretieren$|a|^2$,$|b|^2$als die Wahrscheinlichkeiten, die Messungen entlang der Richtung drehen$z$entweder nachgeben$|\uparrow_z\rangle$oder$|\downarrow_z\rangle$. Wie auch immer, wenn$|\psi\rangle$ein reiner Zustand ist, können wir beispielsweise immer eine bestimmte Richtung im 3D-Raum finden${\vec u}$, so dass die Messungen mitlaufen${\vec u}$immer nachgeben mit$100\%$Gewissheit das Ergebnis$|\uparrow_{\vec u}\rangle$(oder$|\downarrow_{\vec u}\rangle$, abhängig von der gewählten Ausrichtung). Für ein Spin-1/2-Teilchen ist dies die tatsächliche physikalische Bedeutung und operative Definition eines reinen Zustands. Im Gegensatz dazu gemischte Staaten$\hat \rho$sind Staaten, für die keine solche Richtung${\vec u}$kann gefunden werden. Oder, wenn Sie es vorziehen, für einen gemischten Zustand die Statistik der Spinmessungen in beliebiger Richtung${\vec u}$zeigt für beide immer Wahrscheinlichkeiten ungleich null mit Unsicherheiten ungleich null an $|\uparrow_{\vec u}\rangle$Und$|\downarrow_{\vec u}\rangle$.

Hinweis: Historisch wurde die Spin-1/2-Interpretation von den Konzepten der Polarisation und Kohärenz für elektromagnetische Wellen inspiriert. Ganz analog ist kohärente elektromagnetische Strahlung durch eine perfekte Polarisation entlang einer bestimmten Richtung gekennzeichnet, während für inkohärente Strahlung keine scharfe Polarisationsrichtung definiert werden kann.

Verallgemeinern wir nun auf ein beliebiges Quantensystem. Erinnern Sie sich zuerst daran:

1) Der zugehörige Hilbertraum wird immer als gemeinsame reine Zustandseigenbasis erzeugt$\lbrace |\psi_\lambda\rangle \rbrace$eines vollständigen Satzes von Observablen$\lbrace {\hat O}_1, {\hat O}_2, \dots {\hat O}_k\rbrace$. Für das Spin-1/2-Teilchen war der vollständige Satz minimal und bestand aus einem einzigen beobachtbaren,${\hat \sigma}_z$oder${\hat \sigma}_{\vec u}$(wobei wir in diesem Fall den Gesamtspin als redundant beiseite lassen), aber im Allgemeinen nehmen wir an, dass die (endliche) Anzahl unabhängiger Observablen einige ist$k > 1$.

2) Es gibt tatsächlich ein Kontinuum unterschiedlicher vollständiger Sätze von Observablen, die durch einheitliche Transformationen miteinander in Beziehung stehen. Das heißt, wenn$\lbrace {\hat O}_1, {\hat O}_2, \dots {\hat O}_k\rbrace$ist ein vollständiger Satz mit Eigenbasis$\lbrace |\psi_\lambda\rangle \rbrace$Und${\hat U}$ist eine einheitliche Transformation,${\hat U}{\hat U}^\dagger = {\hat U}^\dagger{\hat U} = {\hat I}$, Dann$\lbrace {\hat U}{\hat O}_1{\hat U}^\dagger, {\hat U}{\hat O}_2{\hat U}^\dagger, \dots {\hat U}{\hat O}_k{\hat U}^\dagger\rbrace$ist ebenfalls eine vollständige Menge und bestimmt eine Eigenbasis$\lbrace {\hat U} |\psi_\lambda\rangle \rbrace$.

3) Reine Zustände können durch einheitliche Transformationen ineinander abgebildet werden. Das heißt, wenn$|\psi\rangle$,$|\phi\rangle$zwei unterschiedliche Zustände sind, dann gibt es einige einheitliche$\hat U$so dass$|\psi\rangle = {\hat U} |\phi\rangle$.

Als logische Folge all dessen folgt, dass jeder reine Zustand$|\psi\rangle$kann durch eine unitäre Transformation abgebildet werden$\hat U$in einen Eigenzustand$|\psi_\lambda\rangle$eines vollständigen Satzes von Observablen$\lbrace {\hat O}_1, {\hat O}_2, \dots {\hat O}_k\rbrace$, das ist,$|\psi\rangle = {\hat U} |\psi_\lambda\rangle$. Aber das folgt dann auch$|\psi\rangle$ist notwendigerweise ein Eigenzustand der vollständigen Menge$\lbrace {\hat {\bar O}}_1 = {\hat U}{\hat O}_1{\hat U}^\dagger, {\hat {\bar O}}_2 = {\hat U}{\hat O}_2{\hat U}^\dagger, \dots {\hat {\bar O}}_k = {\hat U}{\hat O}_k{\hat U}^\dagger\rbrace$.

Mit anderen Worten, für jeden reinen Zustand$|\psi\rangle$Es existiert ein vollständiger Satz von Observablen$\lbrace {\hat {\bar O}}_1, {\hat {\bar O}}_2, \dots, {\hat {\bar O}}_k\rbrace$das kehrt mit zurück$100\%$Sicherheit eine Reihe von Durchschnittswerten mit verschwindenden Standardabweichungen,$\langle \Delta {\hat {\bar O}}_j^2 \rangle = 0$,$j = 1, 2, \dots, k$. Dies kann dann als operationale Definition von reinen Zuständen aufgefasst werden.

Auf die gleiche Weise wie zuvor gemischte Staaten$\hat \rho$sind dann solche, für die es keine vollständige Menge gibt, so dass$\langle \Delta{\hat {\bar O}}_j^2 \rangle = 0$für alle$j = 1, 2, \dots, k$.

Alles andere, was bereits erwähnt wurde, gilt wie gewohnt.