Superposition in der Quantenmechanik

Ich hatte die gleichen konzeptionellen Probleme wie Sie, als ich QM studierte. Lassen Sie mich ein bisschen Philosophie versprühen, was es mir ermöglichte, endlich weiterzumachen und mich auf die mathematischen Dinge zu konzentrieren, die wirklich wichtig sind :)

Quantenzustände sind Strahlen im Hilbert-Raum (oder Punkte im projektiven Hilbert-Raum usw.). Alle Zustände haben die gleiche physikalische Bedeutung: Sie alle existieren und keiner von ihnen ist in irgendeiner Weise besonders.

Die beobachtbaren Informationen sind in der auf dem Zustandsraum definierten Hilbert-Produktstruktur kodiert. Tatsächlich hat die einzig vernünftige Frage, die man zu einem bestimmten Quantensystem stellen könnte, folgende Form:

Was ist der Konflikt (Modul-Quadrat des inneren Produkts)$\left|\left<a|b\right>\right|^2$von zwei gegebenen Zuständen$\left|a\right>$Und$\left|b\right>$gleich?

Aber Zustände sind ziemlich abstrakte Bestien, und ohne eine genaue Art und Weise, wie wir Zustände mit tatsächlichen Erfahrungen (oder Versuchsanordnungen usw.) identifizieren könnten, haben solche Berechnungen keinen Sinn.

Hier kommen Observables ins Spiel, die in der QM durch selbstadjungierte Operatoren kodiert werden. Jedem solchen Operator können wir ein Spektrum von Eigenwerten und Eigenzuständen zuordnen.

Ich werde hier das Heisenberg-Bild verwenden, also ändern sich diese Operatoren mit der Zeit. Daher ein Betreiber zur Zeit$t _1$ist nicht dasselbe wie ein Operator, der zu einem bestimmten Zeitpunkt derselben Größe entspricht$t _2 > t _1$.

Wir können dann eine physikalische Frage stellen, die lautet:

Ich weiß mit Sicherheit, dass mein Teilchen eine Koordinate hatte$x = x_1$zum Zeitpunkt$t = t _1$. Im QM bedeutet es, dass ich sicher weiß, dass sich das System in einem solchen Zustand befindet$\left|a\right>$dass es sich um einen Eigenzustand des Ortsoperators zur Zeit handelt$t _1$mit dem zugehörigen Eigenwert:

$$\hat{x}(t _1) \left| a \right> = x _1 \left| a \right>.$$ Welche möglichen Ergebnisse könnte ich erfahren, wenn ich die Position des Teilchens zu einem bestimmten Zeitpunkt messe $t _2$?

Und auf diese Frage hat QM eine elegante Antwort. Da das System im Zustand ist$\left| a \right>$was im Allgemeinen kein Eigenzustand des neuen Positionsoperators ist$x (t _2)$, muss ich es in Bezug auf solche Eigenzustände erweitern:

Wenn Zustände richtig normalisiert sind (denken Sie daran, dass tatsächliche Zustände Strahlen und keine Vektoren im Hilbert-Raum sind), dann ergeben sich Kollisionen durch das Modulquadrat der entsprechenden Koeffizienten:

Manche Menschen sind versucht, eine metaphysisch angenehmere Bedeutung für diese Zusammenstöße zu suchen. Gemäß der Born-Regel (die übrigens nichts mit Jason Bourne zu tun hat) könnten wir diesen Konflikt als Wahrscheinlichkeit für das Erleben eines Zustands interpretieren$\left| b \right>$in einer bevorstehenden Messung, von der wir ausgehen$\left| a \right>$.

Zusammenfassend: Alle Zustände spielen im QM die gleiche Rolle, nämlich: sie existieren einfach. Aber letztlich interessieren wir uns für Möglichkeiten, Zustände zu kennzeichnen (oder wie könnten wir sie sonst unterscheiden und ihnen eine physikalische Bedeutung zuordnen?). Dies geschieht über Eigenzustände von selbstadjungierten Operatoren.

Aber die Operatoren entwickeln sich mit der Zeit weiter. Wenn wir also zum Beispiel einen Zustand haben, der zu einem bestimmten Zeitpunkt ein Eigenzustand eines Operators ist$t _1$, es ist eine Überlagerung von (unterschiedlichen) Eigenzuständen von (unterschiedlichen) Operatoren, die derselben Größe entsprechen, jedoch zu einem bestimmten Zeitpunkt$t _2$.

Erweiterungen von Zuständen über die Basis werden durchgeführt, wenn wir eine Menge messen. Diese Basis ist keineswegs beliebig und besteht aus Eigenzuständen des dieser Größe entsprechenden selbstadjungierten Operators.

Dies ergibt eine etwas allgemeinere Formulierung der Antwort von Hindsight. Die einfachste Interpretation von Überlagerungen in der Quantenmechanik wird normalerweise im Zusammenhang mit orthogonalen Basen gegeben, die bereits mehr Struktur beinhalten als die in den Kommentaren erwähnten Hamel-Basen. Nehmen wir der Einfachheit halber eine abzählbare Basis an$\{ | u_n \rangle \}_n$wie Sie es getan haben, und zusätzlich verlangen, dass es orthonormal ist,$\langle u_n | u_m \rangle = \delta_{nm}$. Auch lassen$\hat{ O }$Seien Sie etwas Beobachtbares, das die hat$| u_n \rangle$-s als Eigenzustände, so dass seine Eigenwerte sind$\langle u_n | \hat{ O } | u_n \rangle$. Die Zerlegung eines normalisierten Zustands$| \psi \rangle$als (eindeutige) Superposition

mit$c_n$komplexe Zahlen, bedeutet, dass eine Messung von$\hat{ O }$An$| \psi \rangle$erzeugt einen Ausgabewert$\langle u_n | \hat{ O } | u_n \rangle$und einen Ausgangszustand$| u_n \rangle$mit Amplitude$c_n$und eine Wahrscheinlichkeit$|c_n|^2$. Aus solchen Gründen wird allgemein gesagt, dass der Koeffizient$c_n$ist die Zustandsamplitude$| u_n \rangle$im Staat$| \psi \rangle$, und dass es eine endliche Wahrscheinlichkeit gibt$|c_n|^2$Zustand zu messen$| u_n \rangle$im Staat$| \psi \rangle$.

Das Konzept wird dann auf beliebige Amplituden erweitert$\langle \phi | \psi \rangle$für normalisierte Zustände$| \phi \rangle$, da keine solche gegeben$| \phi \rangle$es ist immer möglich, eine orthogonale Basis zu bauen, die es enthält.