Warum ist die Dimension der mengenseparierbaren Zustände dimH1+dimH2dim⁡H1+dim⁡H2\dim\mathcal H_1+\dim\mathcal H_2?

Können Sie mir bitte helfen zu verstehen, wie die Dimension der Menge der trennbaren Zustände ist schwach ⁡ H 1 + schwach ⁡ H 2 ?

Dies ist die relevante Passage:

Bisher sind wir implizit davon ausgegangen, dass das System aus einer einzigen Komponente besteht. Angenommen, ein System besteht aus zwei Komponenten; man lebt in einem Hilbertraum H 1 und der andere in einem anderen Hilbert-Raum H 2 . Ein System, das aus zwei getrennten Komponenten besteht, wird als bipartit bezeichnet . Dann lebt das System als Ganzes in einem Hilbert-Raum H = H 1 ⊗ H 2 , dessen allgemeiner Vektor geschrieben wird als

(2.29) | ψ ⟩ = ∑ ich , J C ich J | e 1 , ich ⟩ ⊗ | e 2 , J ⟩ ,
Wo { | e A , ich ⟩ } ( A = 1 , 2 ) ist eine orthonormale Basis in H A Und ∑ ich , J | C ich J | 2 = 1 .

Ein Staat | ψ ⟩ ∈ H geschrieben als Tensorprodukt zweier Vektoren als | ψ ⟩ = | ψ 1 ⟩ ⊗ | ψ 2 ⟩ , ( | ψ A ⟩ ∈ H A ) wird separierbarer Zustand oder Tensorproduktzustand genannt . Ein trennbarer Staat lässt eine klassische Interpretation zu wie „Das erste System ist im Staat | ψ 1 ⟩ , während das zweite System eingeschaltet ist | ψ 2 ⟩ .“ Es ist klar, dass die Menge separierbarer Zustände eine Dimension hat schwach ⁡ H 1 + schwach ⁡ H 2 .

Aus Wikipedia: Wenn H 1 Und H 2 haben orthonormale Basen { φ k } Und { ψ l } , bzw. dann { φ k ⊗ ψ l } ist eine orthonormale Basis für H 1 ⊗ H 2 . Insbesondere ist die Hilbert-Dimension des Tensorprodukts das Produkt (als Kardinalzahlen) der Hilbert-Dimensionen.

Antworten (2)

Beachten Sie, dass der Raum trennbarer Zustände kein Vektorraum ist und insbesondere kein Unterraum des gesamten Hilbert-Raums: Die Summe zweier trennbarer Zustände ist wahrscheinlich nicht trennbar. Dimension bedeutet hier also etwas Allgemeineres als Vektorraumdimension.

Allerdings würde ich dem Autor in Bezug auf seine Dimension nicht zustimmen! Ich würde sagen, dass der Raum von (von Null verschiedenen) trennbaren Zuständen eine Dimension hat schwach ⁡ H 1 + schwach ⁡ H 2 − 1 .

Um einen trennbaren Zustand zu spezifizieren, können wir ein Element von jedem liefern H 1 Und H 2 , was bedeutet schwach ⁡ H 1 + schwach ⁡ H 2 komplexe Zahlen. Allerdings gibt es hier eine Redundanz, denn wir können jeweils um eine Gesamtskalierung ( | ψ 1 ⟩ ↦ λ | ψ 1 ⟩ , | ψ 2 ⟩ ↦ λ − 1 | ψ 2 ⟩ ) ohne den Produktzustand zu ändern, was die Dimension um 1 reduziert.

Ein paar einfache Beispiele:

1) Wenn H 1 1-dimensional ist (völlig trivial!), dann sind alle Zustände separabel, und H 1 ⊗ H 2 ≃ H 2 .

2) Wenn beides H 1 Und H 2 zweidimensional sind, können wir einen Zustand schreiben H 1 ⊗ H 2 als 2x2-Matrix. Die trennbaren Zustände haben proportionale Spalten/Zeilen, sind also genau die gleichen wie Matrizen der Determinante Null. Wenn wir 0 ausschließen, ist dies eine dreidimensionale Untermannigfaltigkeit.

deine Skalierung | ψ 1 ⟩ ↦ λ | ψ 1 ⟩ behält die Normalisierung jedoch nicht bei. Wenn schwach ⁡ H 1 ist (wie es soll) 2 ( N − 1 ) mit N die Dimension des Raums, dann wurden die Phasen- und Normalisierungsmehrdeutigkeiten bereits berücksichtigt, daher verstehe ich nicht, warum es einen Parameter weniger geben sollte. Zum Beispiel werden trennbare Zwei-Qubit-Zustände bestimmt durch 2 + 2 = 4 Parameter, nicht drei: ( cos ⁡ θ | 0 ⟩ + Sünde ⁡ θ e ich ϕ | 1 ⟩ ) ⊗ ( cos ⁡ θ ' | 0 ⟩ + Sünde ⁡ θ ' e ich ϕ ' | 1 ⟩ )

Dies ist vielleicht nicht das, was Nakahara im Sinn hat, aber man kann dies mit der Idee von projektiven Hilbert-Räumen verstehen . Lassen P ( H ) bezeichnen den projektiven Raum, der dem "normalen" Raum zugeordnet ist H .

Die Teilmenge trennbarer Zustände ist kein Subvektorraum im eigentlichen Sinne, wie Holographer anmerkt. Dennoch kann es als eine projektive Unterart des projektiven Raums verstanden werden, die mit dem Tensorprodukt der zugrunde liegenden Hilbert-Räume verbunden ist – es ist das Bild der Segre-Einbettung , die eine glatte Einbettung ist

P ( H 1 ) × P ( H 2 ) → P ( H 1 ⊗ H 2 ) , ( ψ , ϕ ) ↦ ψ ⊗ ϕ

Wo P ( H 1 ) × P ( H 2 ) sind die trennbaren Zustände. 1 In der Sprache der projektiven Varietäten ist dieses Bild a ( M − 1 ) + ( N − 1 ) Dimensionen projektive Unterart von P ( H 1 ⊗ H 2 ) , aber da sollten wir mehr richtig sehen M ' = M − 1 Und N ' = N − 1 - die Dimensionen der projektiven Räume - als die Dimensionen der tatsächlichen Zustandsräume erhalten wir zwar, dass die den separierbaren Zuständen entsprechende Unterart die Summe der Dimensionen der einzelnen Zustände als Dimension hat.

1 Beachten Sie, dass dies auf gewöhnlichen Hilbert-Räumen nicht einmal injektiv ist, geschweige denn eine Einbettung im eigentlichen Sinne, da ψ ⊗ ϕ = k ψ ⊗ 1 k ϕ bedeutet, dass ( ψ , ϕ ) Und ( k ψ , 1 k ϕ ) auf dasselbe Element des Tensorproduktraums abbilden.

Ah! Algebraische Geometrie ist überall! aber ich bin so ein armer Kerl, der es nicht versteht. Danke, aber sorry, mit meinem mathematischen Hintergrund verstehe ich Ihre Antwort nicht
Sehr schön! Hatte wirklich Mühe, die Geometrie hier zu sehen; das hilft sehr. Ein sehr kleiner Nitpick: In der ursprünglichen Notation, schwach ⁡ H 1 = N , So schwach ⁡ P ( H 1 ) = N − 1 , also wären die trennbaren Zustände an ( N + M − 2 ) -dimensionale Vielfalt hier, wenn ich das richtig verstehe.
@Holographer: Du hast natürlich Recht.
Warum ist die Dimension der mengenseparierbaren Zustände dimH1+dimH2dim⁡H1+dim⁡H2\dim\mathcal H_1+\dim\mathcal H_2?
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