mnmnmn-dim Hilbert-Raum vs. Produkt aus mmm- und nnn-Hilbert-Raum

Zwei endlichdimensionale Hilbert-Räume derselben Dimension sind isomorph, und das war's. Sicher, alles in einem hat ein Gegenstück in dem anderen. Was Sie hier sehen, ist, dass ein Objekt hereinkommt$\tilde{\mathcal{H}}_K$sind einfach spezieller als ihre Gegenstücke in$\mathcal{H}_K$wäre.

Nehmen wir zum Beispiel den Zustandsraum von zwei Qubits gegenüber einem generischen 4-dimensionalen Raum (so$m = n = 2$) und ihre Grundlagen$\{|0\rangle, |1\rangle\}^{\otimes 2}$gegen$\{|a\rangle,|b\rangle,|c\rangle,|d\rangle\}$. Du würdest es nicht in Betracht ziehen$b+d$etwas Besonderes als$b+c$, zum Beispiel, während der Unterschied zwischen$|01\rangle + |11\rangle$Und$|01\rangle + |10\rangle$nennen wir das eine getrennt und das andere verstrickt. Dieser semantische Unterschied geht verloren, wenn wir den Unterschied zwischen den beiden Räumen löschen. Dasselbe gilt für Quantenoperationen.

Das vielleicht anschaulichste Beispiel ist ein Basiswechsel. Im Tensorproduktraum würden Sie wahrscheinlich hauptsächlich neue Basen in Betracht ziehen, die durch Tensormultiplikation zweier Basen von entstehen$\mathbb{C}^2$, um die Trennung aufrechtzuerhalten. Sie können aber auch genauso gut die Basis von Bell-Zuständen verwenden,

$$\{(|00\rangle + |11\rangle)/\sqrt2, (|00\rangle - |11\rangle)/\sqrt2, (|01\rangle + |10\rangle)/\sqrt2, (|01\rangle - |10\rangle)/\sqrt2\}.$$ Einiges ist darin klarer, aber nicht zB zu sagen, welche Zustände trennbar waren und welche nicht – das erfordert plötzlich mehr Berechnung, im Grunde genommen auf Rücktransformation zu reduzieren und dann das zu tun, was man in der ursprünglichen Basis getan hätte. Dies liegt daran, dass die $\tilde{\mathcal{H}}_4$wurde so behandelt $\mathcal{H}_4$. Es sind keine Informationen verloren gegangen, es ist nur eine Frage Ihrer Wahl der mathematischen Beschreibung derselben Sache.

Angenommen, man hat einen Hilbert-Dimensionsraum${K= mn}$. Es ist möglich, es auf (mindestens) zwei Arten zu beschreiben – einfach als a$K$-dimensionaler Raum, oder als Produkt von$m$- Und$n$-dimensionale Räume. Im ersteren Fall nennen wir es$\mathcal{H}$, in Letzterem -$\widetilde{\mathcal{H}}$. Alle Staaten in$\mathcal{H}$Und${\widetilde{\mathcal{H}}=\widetilde{\mathcal{H}}_1\otimes \widetilde{\mathcal{H}}_2}$, sowie die Quantenoperationen, sollten in einer Eins-zu-Eins-Entsprechung zueinander stehen. Mathematisch gesehen sind diese beiden Beschreibungen also gleichwertig. Lassen Sie uns nun untersuchen, ob sich aus physikalischer Sicht etwas ändert.

Zum Beispiel im Fall von$\widetilde{\mathcal{H}}$wir können nur einen „Teil“ des Zustands messen, der einem der Hilbert-Räume entspricht$\widetilde{\mathcal{H}}_1$Und$\widetilde{\mathcal{H}}_2$. Dies führt zum teilweisen Kollaps der Wellenfunktion. Durch die Durchführung von Messungen in$\widetilde{\mathcal{H}}_1$, erhält man (hier und im Folgenden nehmen wir der Einfachheit halber an${\dim \widetilde{\mathcal{H}}_1 = \dim \widetilde{\mathcal{H}}_2 = 2}$, und auch, dass die Messungen in$\widetilde{\mathcal{H}}_{1,2}$werden in der Berechnungsgrundlage durchgeführt):

$$\begin{alignat}{9} \label{pr1} \dfrac{1}{2}(|0\rangle+|1\rangle) \otimes (|0\rangle+|1\rangle) &\longrightarrow \left[\begin{alignedat}{9} &|0\rangle\otimes \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle+|1\rangle)\\ &|1\rangle\otimes \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle+|1\rangle) \end{alignedat}\right.\quad&&,\qquad\qquad(1)\\ \label{pr2} \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle\otimes|0\rangle+|1\rangle\otimes|1\rangle) &\longrightarrow \left[\begin{alignedat}{9} &|0\rangle\otimes |0\rangle \\ &|1\rangle\otimes |1\rangle \end{alignedat}\right.\quad&&.\qquad\qquad(2) \end{alignat}$$ Im ersteren Fall ist die Messung in $\widetilde{\mathcal{H}}_1$berührt nicht den Teil des Staates, zu dem es gehört $\widetilde{\mathcal{H}}_2$. Im letzteren Fall ist die Situation umgekehrt – aufgrund der Verstrickung, dem Ergebnis der $\widetilde{\mathcal{H}}_1$Messung erfolgt der Zusammenbruch von $\widetilde{\mathcal{H}}_2$. Es ist natürlich zu fragen, was die Reflexionen dieser Effekte im Fall von sind $\mathcal{H}$.

Bezeichnet die vier Staaten von$\mathcal{H}$mit Buchstaben ordnen wir die Zustände wie folgt zu:

$$\begin{alignat}{99} |00\rangle & = |a\rangle \quad&&,\qquad |01\rangle & = |b\rangle \quad&&,\qquad |10\rangle & = |c\rangle \quad&&,\qquad |11\rangle & = |d\rangle \quad&&.\qquad\qquad(3) \end{alignat}$$

Wir wollen nun (1) und (2) in Bezug auf umformen$\mathcal{H}$:

$$\begin{alignat}{9} \label{pr3} \dfrac{1}{2}(|a\rangle+|b\rangle+|c\rangle+|d\rangle) &\longrightarrow \left[\begin{alignedat}{9} &\dfrac{1}{\sqrt{2}} (|a\rangle+|b\rangle) \\ &\dfrac{1}{\sqrt{2}} (|c\rangle+|d\rangle) \end{alignedat}\right.\quad&&,\qquad\qquad(4)\\ \label{pr4} \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|a\rangle+|d\rangle) &\longrightarrow \left[\begin{alignedat}{9} &|a\rangle \\ &|d\rangle \end{alignedat}\right.\quad&&.\qquad\qquad(5) \end{alignat}$$

Es ist verlockend, die obigen Operationen als „Projektion auf die Zustände auf der rechten Seite von (1)“ zu bezeichnen. Um uns davon zu überzeugen, werfen wir einen Blick auf die diesen Messungen entsprechenden Quantenkanäle. Der$\widetilde{\mathcal{H}}_1$Messoperatoren von$\widetilde{\mathcal{H}}$Sind:

$$\begin{equation} \widetilde{M}_1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle\langle0|) \otimes {\rm 1\hspace{-0.4ex}\rule{0.1ex}{1.52ex}\hspace{0.2ex}} \qquad,\quad \widetilde{M}_2 = \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|1\rangle\langle1|) \otimes {\rm 1\hspace{-0.4ex}\rule{0.1ex}{1.52ex}\hspace{0.2ex}} \quad.\qquad\qquad(6) \end{equation}$$ Sie repräsentieren einen vollständigen Satz von Messoperatoren in $\widetilde{\mathcal{H}}_1$, und natürlich ein unvollständiger Satz $\widetilde{\mathcal{H}}$. Umschreiben dieser in der Basis von $\mathcal{H}$macht: $$\begin{equation}\begin{alignedat}{9} M_1 &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes {\rm 1\hspace{-0.4ex}\rule{0.1ex}{1.52ex}\hspace{0.2ex}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\end{pmatrix} = |a\rangle\langle a| + |b\rangle\langle b| \quad&&,\qquad\qquad(7)\\ M_2 &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes {\rm 1\hspace{-0.4ex}\rule{0.1ex}{1.52ex}\hspace{0.2ex}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\\end{pmatrix} = |c\rangle\langle c| + |d\rangle\langle d| \quad&&.\qquad\qquad(8) \end{alignedat}\end{equation}$$ Wie erwartet, sind dies die Projektoren auf $\operatorname{span}\{|a\rangle,|b\rangle\}$Und $\operatorname{span}\{|c\rangle,|d\rangle\}$.

Apropos Physik. Was würde man über den Staat sagen${\dfrac{1}{2}(|0\rangle+|1\rangle) \otimes (|0\rangle+|1\rangle)}$bei der Messung in der Berechnungsgrundlage? — „Bei keinem der beiden Qubits sicher“. Und über den Zustand nach der Messung${|0\rangle\otimes \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle+|1\rangle)}$? — „Beim zweiten Qubit bin ich mir nicht sicher, aber beim ersten schon$|0\rangle$'. (4) erlaubt eindeutig eine ähnliche Interpretation.

Das berühmte Merkmal des maximal verschränkten Bell-Zustands ist die Fähigkeit des Beobachters, den Post-Measurement-Zustand eines zusammengesetzten Systems vollständig zu identifizieren, indem er seinerseits eine Messung durchführt. Wenn wir uns (5) ansehen, sehen wir, wie dieser Mechanismus in der Sprache von funktioniert$\mathcal{H}$: Die Identifizierung eines allgemeinen Zustands nach der Messung nach Projektion der Eingabe auf einen zweidimensionalen Unterraum ist natürlich unmöglich. Für bestimmte spezielle Zustände kann eine solche "weiche" Messung jedoch die vollständige Information über den Zustand nach der Messung liefern.