Der maximal gemischte Zustand ist das Zentrum aller Quantenzustände

Die Menge der Quantenzustände ρ In D Dimensionen ist die Menge positiver semidefiniter Operatoren, die in einem Hilbert-Dimensionsraum leben D . Lassen Sie uns diese Menge mit bezeichnen Pos ( X ) und beachte, dass dies eine konvexe Menge ist. Konvexität wird auch in anderen interessanten Mengen gesehen, zum Beispiel in der Menge der trennbaren Zustände S , der Satz von PPT-Zuständen P usw.

Ich habe diese Intuition, dass durch einige Symmetrieargumente der maximal gemischte Zustand, dh der Identitätsoperator (der in S , P Und Pos ( X ) ) sollte im geometrischen Zentrum dieser Mengen liegen, sagen wir, wenn wir vernünftige Dinge wie die 2-Norm verwenden, um den Abstand zu definieren. Schließlich ist der maximal gemischte Zustand (grob gesagt) eine Mischung aller Zustände im Hilbert-Raum.

Für ein einzelnes Qubit, wenn man die Bloch-Kugel betrachtet, ist dies tatsächlich wahr! Der maximal gemischte Zustand befindet sich im Zentrum der Kugel.

Leider scheint dieses Bild in allgemeineren Fällen irreführend zu sein. Demnach erhalten Sie ein sehr schönes geometrisches Bild konzentrischer Mannigfaltigkeiten für trennbare Zustände, PPT-Zustände und alle Quantenzustände, und dies ist (soweit ich das beurteilen kann) nicht der Fall. Sehen Sie sich dieses Bild an, in dem der Autor die Sätze absichtlich nicht konzentrisch macht, was meiner Intuition widerspricht.Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Hat jemand eine bessere Intuition für die Form konvexer Mengen von Quantenzuständen? Und gäbe es einen guten Grund zu sehen, warum der maximal gemischte Zustand nicht im Zentrum der Menge von Zuständen steht?

Warum sollte es nicht so sein? (Und nehmen Sie Spur 1 an?)
@NorbertSchuch, ja, ich gehe von Spur 1 für alle Zustände aus, über die ich spreche. Können Sie erläutern, warum das wichtig ist? Ich dachte nur, dass dies wegen der Nicht-Konzentrizität des Bildes, das ich angehängt habe, so war. Sie sagen, dass das richtige Bild eines ist, bei dem alle gezeigten Mengen das gleiche Zentrum haben, was dem maximal gemischten Zustand entspricht?
Wenn es nicht Spur 1 ist, liegt der maximal gemischte Zustand (mit Spur 1) sicher nicht im Zentrum. Die Zahl 1 ist keineswegs etwas Besonderes. Warum nicht den maximal gemischten Zustand erreichen? Aber jetzt verstehe ich deine Frage besser, das Bild hat geholfen. Grundsätzlich fragen Sie: "Wie kann ich den maximal gemischten Zustand in der Mitte mit diesen nicht konzentrischen Bildern in Einklang bringen?" -- ist das richtig?
Ja, das war die Frage. Danke für die Antwort!

Antworten (1)

Dichteoperatoren leben in einem reellen Vektorraum. Betrachten Sie Operatoren ρ , ρ ≥ 0 , T R ρ = 1 aus einem der Sets S Sie erwähnen (alle Dichteoperatoren, trennbar oder PPT).

Staat gegeben ρ ∈ S , können wir es schreiben als

ρ = 1 D 1 1 + X   ,
mit einem spurlosen hermiteschen Operator X . Wenn ρ standen im Mittelpunkt des Sets, dann auch der Staat
ρ ' = 1 D 1 1 − X
sollte im Set sein.

Betrachten Sie nun einen (zweigeteilten) reinen Produktzustand ρ = | 00 ⟩ ⟨ 00 | , die in allen drei Sätzen enthalten ist (und tatsächlich an der Grenze aller drei Sätze, wie unten in Ihrem Bild). In diesem Fall,

ρ ' = 2 D 1 1 − | 00 ⟩ ⟨ 00 |   ,
die einen negativen Eigenwert hat 2 D − 1 (beachten Sie, dass D ≥ 4 -- und selbst wenn wir bipartite Systeme nicht betrachten, D ≥ 3 , da Sie bereits beobachtet haben, dass für die Bloch-Kugel alles funktioniert). Das sehen wir also ein ρ ' ist in keiner der Mengen, dh die Mengen sind nicht symmetrisch um das Zentrum!

Es sollte aufschlussreich sein, das PPT-Kriterium oder die Trennbarkeit für dieses oder verwandte Beispiele entlang einer solchen Linie auszuarbeiten.

Der maximal gemischte Zustand ist das Zentrum aller Quantenzustände
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