Welche Informationen gibt die Von-Neumann-Entropie für gemischte Zustände?

Zunächst muss man die klassische Unschärfe von der Quantenunschärfe unterscheiden. Die Dichtematrix kann geschrieben werden als

$$\rho=\sum w_i|\alpha_i\rangle\langle\alpha_i|$$ bei dem die $w_i$können die klassischen Wahrscheinlichkeiten sein, wenn man nicht genau sagen kann, wo sich der Zustand im Hilbertraum befindet, oder die Quantenwahrscheinlichkeiten, wenn man den Zustand nicht als eindeutigen Vektor des Hilbertraums schreiben will (oder kann). .

Klassisch

Nehmen Sie als Beispiel ein Zwei-Ebenen-System und betrachten Sie den Fall, in dem man klassischerweise nicht sagen kann, in welchem ​​der beiden Zustände sich das System befindet. In diesem Fall wird Ihre Dichtematrix sein

$$\rho=\frac{1}{2}|0\rangle\langle0|+\frac{1}{2}|1\rangle\langle1|$$ und Ihre Entropie wird sein $S=-Tr(\rho\log\rho)=\log2$. Diese Entropie ist ein Maß für Ihre klassische Unsicherheit über den Zustand und hat nichts mit Quantenunsicherheit zu tun.

Quantum

Stellen Sie sich nun ein System vor, das sich aus den zwei zweistufigen Systemen von oben jedem mit seinem Hilber-Raum zusammensetzt$\mathcal{H}_1$Und$\mathcal{H}_2$. Wenn Sie den gesamten Hilbert-Raum schreiben möchten, müssen Sie das Tensorprodukt berechnen, und Sie werden einige Vektoren haben, die nicht in die separaten Hilbert-Räume geschrieben werden können. Ein berühmtes Beispiel ist einer der Staaten der Glocke

$$|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle\otimes|1\rangle+|1\rangle\otimes|0\rangle\right)~.$$ Während ein Gesamtzustand immer in Basis geschrieben werden kann, wobei sein Zustand einer der Basis selbst ist, wird seine Dichtematrix ähnlich sein $$\rho=\begin{pmatrix}1&...&0\\.&...&.\\0&...&0\end{pmatrix}$$ und seine Entropie $\rho=-Tr(\rho\log\rho)=0$, gilt dies nicht für ein einzelnes Subsystem des Bell-Zustands, für das die Dichtematrix mit dem Trace-Operator auf der Hilber-Ebene des anderen Subsystems erhalten wird, das auf die Gesamtdichtematrix einwirkt: $$\rho_{A}=Tr_B(\rho)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}~.$$

In diesem Fall wird die Von-Neumann-Entropie sein$S=-Tr(\rho\log\rho)=\log2$. Diese Entropie misst die Quantenkorrelationen zwischen den beiden Subsystemen und ist immer von Null verschieden, wenn der Zustand, den Sie betrachten, irgendwie mit etwas anderem (einem anderen Subsystem oder einer Umgebung) interagiert.

Aus dem klassischen und dem maximal verschränkten Szenario können Sie ersehen, dass es keine Unterschiede zwischen den beiden Dichtematrizen gibt und Sie daher bei einer gegebenen beliebigen Dichtematrix kein Kriterium haben, um die beiden Fälle zu unterscheiden, und die Von-Neumann-Entropie wird dasselbe ergeben. Es kann gezeigt werden, dass die Unterscheidung einer verschränkten oder nicht verschränkten Dichtematrix ein NP-schweres Problem ist, das als Quantentrennbarkeitsproblem bekannt ist .