Was ist die Intuition hinter dem Choi-Jamiolkowski-Isomorphismus?

Die Intuition

Betrachten wir einen Kanal$\mathcal E$, die wir auf einen Zustand anwenden wollen$\rho$. (Dies könnte genauso gut Teil eines größeren Systems sein.) Betrachten Sie nun das folgende Protokoll für die Anwendung$\mathcal E$zu$\rho$:

1. Bezeichnen Sie das System von$\rho$durch$A$. Fügen Sie einen maximal verschränkten Zustand hinzu$|\omega\rangle=\tfrac{1}{\sqrt{D}}\sum_{i=1}^D|i,i\rangle$der gleichen Dimension zwischen den Systemen$B$und$C$:

   

2. Jetzt Projektsysteme$A$und$B$an$|\omega\rangle$:

   

   [Dies kann als Teleportation verstanden werden, bei der wir nur das "gute" Ergebnis betrachten müssen, dh bei der wir keine (allgemeine) Pauli-Korrektur vornehmen müssen$C$, siehe auch die Diskussion.]
   Unsere Intuition zur Teleportation (oder eine einfache Berechnung) sagt uns, dass wir jetzt den Zustand haben$\rho$im System$C$:

   

3. Jetzt können wir den Kanal anwenden$\mathcal E$zu$C$, was den gewünschten Zustand ergibt$\mathcal E(\rho)$im System$C'$:

   

Die Schritte 2 und 3 pendeln jedoch (2 wirkt auf$A$und$B$, und 3 wirkt weiter$C$), also können wir die Reihenfolge vertauschen und 2+3 durch 4+5 ersetzen:

4. Sich bewerben$\mathcal E$zu$C$, das ist der rechte Teil von$|\omega\rangle$:

   

   Daraus ergibt sich ein Zustand$\eta=(\mathbb I\otimes \mathcal E) (|\omega\rangle\langle\omega|)$, was nichts anderes als der Choi-Zustand ist$\mathcal E$:

   

   (Dies ist der ursprüngliche Schritt 3.)

5. Wir können nun den ursprünglichen Schritt 3: Projekt durchführen$A$und$B$auf zu$|\omega\rangle$:

   

   Dabei erhalten wir$\mathcal E(\rho)$in$C'$:

   

Die Schritte 4 und 5 sind genau der Choi-Jamiolkowski-Isomorphismus:

• Schritt 4 sagt uns, wie wir den Choi-Zustand erhalten$\eta$für einen Kanal$\mathcal E$
• Schritt 5 sagt uns, wie wir den Kanal aus dem Zustand konstruieren können

Wenn Sie die Mathematik durchgehen, erhalten Sie leicht den Ausdruck für das Erhalten$\mathcal E$aus$\mathcal \eta$in der Frage angegeben:

$$\begin{align*} \mathcal E(\rho) &= \langle \omega|_{AB}\rho_A\otimes \eta_{BC}|\omega\rangle_{AB}\\ & \propto \sum_{i,j} \langle i|\rho_A|j\rangle_{A} \langle i|_B\eta_{BC} |j\rangle_B \\ & = \mathrm{tr}_B[(\rho_B^T\otimes \mathbb I_C) \eta_{BC}]\ . \end{align*}$$

Diskussion

Die obige Intuition ist eng mit teleportationsbasiertem Quantencomputing und messungsbasiertem Quantencomputing verbunden. Beim teleportationsbasierten Computing bereiten wir zunächst den Choi-Zustand vor$\eta$eines Tores$\mathcal E$vorher und anschließend "durchteleportieren".$\eta$", wie in Schritt 5. Der Unterschied besteht darin, dass wir nicht auf das Ergebnis der Messung nachselektieren können, sodass wir alle Ergebnisse berücksichtigen müssen. Dies hängt vom Ergebnis ab$k$haben wir (für Qubits) den Kanal implementiert$\mathcal E(\sigma_k \cdot \sigma_k)$, wo$\sigma_k$ist eine Pauli-Matrix und allgemein$\mathcal E$ist eine Einheit. Wenn wir unsere Gates sorgfältig auswählen, haben sie "schöne" Kommutierungsbeziehungen mit Pauli-Matrizen, und wir können dies im Laufe der Berechnung berücksichtigen, genau wie beim messungsbasierten Rechnen. Tatsächlich kann messungsbasiertes Computing als ein Weg verstanden werden, auf Teleportation basierende Berechnungen auf eine Weise durchzuführen, bei der in jedem Schritt nur zwei Ergebnisse in der Teleportation zulässig sind und somit nur eine Pauli-Korrektur auftreten kann.

Anwendungen

Kurz gesagt, der Choi-Jamiolkowski-Isomorphismus erlaubt es, viele Aussagen über Zustände auf Aussagen über Kanäle abzubilden und umgekehrt. Beispielsweise ist ein Kanal genau dann vollständig positiv, wenn der Choi-Zustand positiv ist, ein Kanal ist genau dann verschränkungsbrechend, wenn der Choi-Zustand trennbar ist, und so weiter. Offensichtlich ist der Isomorphismus sehr einfach, und daher könnte man genauso gut jeden Beweis von Kanälen auf Zustände übertragen und umgekehrt; Oft ist es jedoch viel intuitiver, mit dem einen oder anderen zu arbeiten und die Ergebnisse später zu übertragen.

So habe ich es verstanden und vielleicht hilft es dir weiter:

Angenommen, Sie haben eine Karte (Kanal)$\Phi$die auf ein System einwirkt$A$. Wenn$A$existiert im Staat$\rho$wir können schreiben,

$$\Phi(\rho) = \Phi(\rho_{ij}|i\rangle\langle j|) = \rho_{ij}\Phi(|i\rangle\langle j|)$$

Wobei der letzte Schritt oben folgt, weil die Quantenmechanik eine lineare Theorie ist. Dies bedeutet, dass die Matrizen bekannt sind$\Phi(|i\rangle\langle j|)$für jeden$i$und$j$hilft uns, die Wirkung der Karte auf jede allgemeine Dichtematrix zu definieren und hilft uns somit, die Karte selbst zu definieren.

Notiz:$\Phi(|i\rangle\langle j|)$oben ist eine physikalisch bedeutungslose Größe, weil$|i\rangle\langle j|$ist im Allgemeinen keine gültige Dichtematrix. Lassen Sie es vorerst nur für eine der Matrizen stehen, die die Karte darstellen$\Phi$und was es physikalisch bedeuten kann, werden wir später sehen.

Nehmen wir nun an, Sie haben zwei Systeme der gleichen Dimension wie$A$. Du hast$A \otimes B$die im gegebenen Choi-Zustand hergestellt wurde$|\Psi\rangle = \Sigma_i |i_Ai_B\rangle$. Betrachten wir die Aktion der Karte$\Phi \otimes I$(was eine gültige Transformationskarte ist) auf diesem zweigeteilten System.

$$\Phi \otimes I(\Sigma_{ij}|i_Ai_B\rangle\langle j_Aj_B|) = \Sigma_{ij}\Phi(|i_A\rangle\langle j_A|)|i_B\rangle\langle j_B|$$

Angenommen, Sie sind in der Lage, die Messung physisch durchzuführen$\langle i_B|\sigma |j_B\rangle$auf den oben genannten Zustand, was Sie bekommen, ist$\Phi(|i\rangle\langle j|)$selbst.

Also alles über$\Phi$ist im Zustand kodiert$\Phi \otimes I(|\text{Choi_state}\rangle)$und umgekehrt.