Was ist die tatsächliche Verwendung von Hilbert-Räumen in der Quantenmechanik?

Ich denke, es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, wie man diese Frage interpretieren könnte, also werde ich versuchen, beide zu beantworten.

Interpretation 1 : Ich lerne die Standardformulierung der Quantenmechanik und löse Probleme wie das Teilchen in einer Kiste. Ich kann all diese Berechnungen problemlos durchführen, aber ich verstehe nicht, warum ich etwas über Hilbert-Räume oder lineare Algebra wissen muss.

Dieser ist ziemlich einfach. Wenn Sie Dinge addieren, mit Konstanten multiplizieren und innere Produkte bilden können, dann sind Sie im Wesentlichen$^\dagger$Arbeiten mit einem Hilbert-Raum. Die Wellenfunktionen, die Sie bequem lösen können, sind Elemente eines solchen Raums, und die selbstadjungierten Operatoren, die Observablen darstellen, sind lineare Abbildungen von einem Element des Raums zu einem anderen.

Lineare Algebra ist nur das Studium von Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen ihnen, daher ist sie insbesondere der Hintergrund aller Berechnungen, die Sie durchführen. Wenn Sie eine Eigenwertgleichung wie die Schrödinger-Gleichung lösen, betreiben Sie lineare Algebra. Wenn Sie einen generischen Zustand als Überlagerung von Eigenzuständen einer Observablen erweitern, betreiben Sie lineare Algebra. Wenn Sie sicher sind, dass ein solcher Satz von Eigenfunktionen überhaupt existiert und dass die entsprechenden Eigenwerte reell sind, liegt das daran, dass Sie den Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren gelernt haben, der ein zentrales Ergebnis in (Sie haben es erraten) linearer Algebra (oder Funktionsanalyse, die im Wesentlichen lineare Algebra in unendlich dimensionalen Räumen ist).

In diesem Sinne ist die lineare Algebra in der Standardformulierung der Quantenmechanik nicht so sehr nützlich ; Es ist, dass die Standardformulierung der Quantenmechanik lineare Algebra ist , ob Sie es so nennen möchten oder nicht. Gewiss, bestimmte Techniken, Theoreme und allgemeine Denkweisen der linearen Algebra können äußerst nützlich sein, um Berechnungen durchzuführen, Modelle zu erstellen usw. - aber die Tatsache bleibt, dass Sie, egal wie Sie es aufteilen, lineare Algebra auf a tun Hilbert-Raum.

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$^\dagger$Tatsächlich beschreibt dies einen so genannten Prä -Hilbert-Raum. Um ein vollständiger Hilbert-Raum zu sein, gibt es eine zusätzliche technische Anforderung namens Vollständigkeit . Grob gesagt bedeutet dies, dass Sequenzen, die „aussehen“ wie sie eigentlich konvergieren sollten, dies auch tun . Dies ist immer dann wichtig, wenn Sie eine Grenze verwenden, die beim Differenzieren erscheint (z$\frac{d}{dt}$in der Schrödinger-Gleichung) und immer dann, wenn Sie eine Wellenfunktion als unendliche Reihe von Eigenvektoren einer Observablen erweitern.

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Interpretation 2 : Ich verstehe, dass die Formulierung der Quantenmechanik, die ich gerade lerne, auf dem Hilbert-Raum (dh einem Vektorraum mit einem Skalarprodukt) als zentrales Konzept basiert, aber ich verstehe nicht, warum ein solches Konstrukt das liefert richtige Beschreibung der Natur.

Dies ist eine viel tiefer gehende Frage. Auf der tiefsten Ebene ist eine physikalische Theorie nichts anderes als ein Mechanismus, um den möglichen Ergebnissen von Messungen Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Die Standardformulierung der Quantenmechanik erreicht dies auf etwas eigentümliche Weise, indem wir eine Entsprechung zwischen messbaren Eigenschaften des Systems und linearen Abbildungen auf einem Hilbert-Raum entwerfen (und dann so vorgehen, wie Sie es gelernt haben).

Dieser Ansatz funktioniert, wie viele tausend Experimente in den letzten hundert Jahren gezeigt haben, aber es ist alles andere als offensichtlich, warum dies der richtige Weg ist. Ein gewisser Einblick kann aus der algebraischen Formulierung der Quantenmechanik gewonnen werden , wobei das zentrale betrachtete Objekt die sogenannte Algebra der Observablen ist , deren Elemente die verschiedenen messbaren Eigenschaften eines gegebenen Systems darstellen.

Einerseits ist das sehr schön - wir arbeiten und beziehen uns direkt auf Dinge, die wir messen wollen, und in vielen Fällen ist es sogar möglich, diese Quantenalgebra der Observablen zu erhalten, indem man mit einer entsprechenden klassischen Algebra der Observablen herumspielt ( obwohl ich sollte sagen, letzteres ist eine andere Art von Algebra). Der Nachteil ist, dass diese Formulierung der Quantenmechanik sehr abstrakt und sehr raffiniert ist – so sehr, dass ich wetten würde, dass die große Mehrheit der arbeitenden Physiker sich ihrer Existenz bestenfalls nur am Rande bewusst ist.

Zum Glück für diejenigen von uns, die nicht an einem Studium interessiert sind$C^*$-Algebren bis unsere Augen bluten, gibt es eine Alternative zu dieser schweren mathematischen Abstraktion. Gemäß dem Gelfand-Naimark-Theorem kann jede solche Algebra von Observablen konkret als Operatoren auf einem Hilbert-Raum realisiert werden . Auf diese Weise werden wir zurück zur Standardformulierung der Quantenmechanik geführt, aber mit einer neuen Perspektive: Die scheinbar willkürliche Wahl, ein Quantensystem um einen Hilbert-Raum herum zu modellieren, ist eine Wahl, die nicht aus Notwendigkeit, sondern eher aus Bequemlichkeit geboren ist, weil sie eine konkrete Umsetzung dessen, was ansonsten eine schrecklich abstrakte Beschreibung der Natur wäre.

Die Schrödinger-Darstellung privilegiert die Positionsbasis für die Darstellung des Zustands eines Systems. Dies ist nicht notwendig, da die Quantenmechanik in jeder Basis funktioniert (z. B. der Impulsbasis oder der Energiebasis), daher lohnt es sich, einen allgemeineren Formalismus zu lernen, der alle Basen gleich behandelt (z. B. die Dirac-Braket-Notation, die ich als "die Bedienersprache" bezeichnen werde).

Es gibt mehrere praktische Beispiele dafür, wie Ihnen die Verwendung der Operatorsprache Vorteile gegenüber dem einfachen Lösen der Schrödinger-Gleichung bietet

• Die auf den harmonischen Quantenoszillator angewendete Leiteroperatormethode wäre mein "Einstiegsbeispiel" dafür, wie lineare Algebra, Hilbert-Räume und Operatormethoden tatsächlich verwendet werden, um Probleme zu lösen und Ihnen mehr Einblick zu geben als nur die Schrödinger-Gleichung.
• Ein weiteres Beispiel aus der Einführungs-QM ist die Ableitung, dass der Drehimpuls quantisiert ist, die ebenfalls Leiteroperatoren verwendet, die aus den Kommutierungsbeziehungen der Drehimpulsoperatoren konstruiert wurden.
• Als fortgeschritteneres Beispiel können Sie das Wasserstoffatom mithilfe von Leiteroperatoren und einem Versteck lösen$SO(4)$Symmetrie.
• Weg von exakten Lösungen hin zu chaotischen Anwendungen in der realen Welt ist in der degenerierten Störungstheorie (z. B. angewandt auf die Berechnung von Korrekturen des Wasserstoffspektrums in einem angelegten elektrischen Feld) ein wichtiger Schritt die Identifizierung eines vollständigen Satzes von Observablen, die mit dem Störungs-Hamiltonoperator pendeln die verwendet werden können, um eine "gute Basis" von Zuständen zu finden, um die Störungsgleichungen zu lösen.
• Wenn Sie sich mit der relativistischen Quantenfeldtheorie befassen, werden Sie irgendwann feststellen, dass die Schrödinger-Gleichung in Berechnungen eigentlich gar nicht verwendet wird, weil sie zu unhandlich wird und andere Techniken benötigt werden. Dasselbe gilt für einige Bereiche der Physik der kondensierten Materie.

Auch formal gibt es viele Vorteile.

• Die Heisenbergsche Unschärferelation lässt sich in wenigen Zeilen aus dem Kommutator der Orts- und Impulsoperatoren in der Operatorensprache ableiten. Die Ableitung kann verallgemeinert werden, um eine Unsicherheitsbeziehung zwischen zwei beliebigen hermiteschen Operatoren anzugeben, die nicht pendeln.
• Symmetrien in der Quantenmechanik können durch Verwendung der Darstellungstheorie von Symmetriegruppen in der Operatorsprache verstanden werden. Dadurch können wir Teilchen danach klassifizieren, wie sie sich unter Symmetrien transformieren (diese Art von Logik führte zur Entdeckung von Quarks).
• In der relativistischen Quantenfeldtheorie werden die Symmetrien der speziellen Relativitätstheorie (die Poincaire-Gruppe ) verwendet, um zu definieren , was mit einem Teilchen gemeint ist. Sie können auch ableiten, dass Teilchen anhand ihrer Masse, ihres Spins und ihrer internen Quantenzahlen wie Ladung klassifiziert werden können.
• Wenn Sie zu Mehrteilchensystemen wechseln, ist ein gutes Verständnis der Operatordarstellung unerlässlich . Die Schrödinger-Gleichung vermittelt vielen Menschen die falsche Vorstellung, dass die Wellenfunktion über den "Raum" definiert ist, während im Operatorbild klarer ist, dass der Zustand eine Funktion der Position (und anderer Freiheitsgrade) jedes Teilchens ist . Dies führt zu einer unglaublichen Menge an vermeidbarer Verwirrung.
  • Aus Austauschoperatoren lassen sich auch Eigenschaften identischer Teilchen ableiten .
  • Es ist auch wichtig zu verstehen, dass sich die Hilbert-Räume, in denen Bosonen und Fermionen "leben", vom Hilbert-Raum nicht identischer Quantenteilchen unterscheiden, da die Zustände vollständig symmetrisch oder antisymmetrisch sein müssen.
• Dichtematrizen, die am einfachsten in der Operatorsprache zu definieren sind, ermöglichen es Ihnen, mit Situationen umzugehen, in denen es sowohl "Quanten"- als auch "klassische" Unsicherheiten im Zustand des Systems gibt, wodurch Sie Quantensysteme bei endlicher Temperatur behandeln können.
• In der Bra-Ket-Notation kann man die Äquivalenz zwischen dem Schrödinger-Bild, dem Heisenberg-Bild, Zwischenbildern (oder "Interaktionsbildern") und dem Pfadintegralformalismus beweisen. Dies sind alles verschiedene, aber äquivalente Formulierungen der Quantenmechanik, die jeweils unter verschiedenen Umständen nützlich sind. In der Lage zu sein, von einem zum anderen überzugehen, ist eine wesentliche Fähigkeit, wenn Sie fortgeschrittener werden, und wäre ohne den Operator und die Hilbert-Raumsprache sehr schwierig.

Dies ist keineswegs eine vollständige Liste. Aber nur zu sagen, dass es viele Möglichkeiten gibt, wie die Operatorsprache in der Quantenmechanik verwendet wird, und das Lösen der Schrödinger-Gleichung für ein tiefes Verständnis nicht ausreicht.

Ich denke, das Problem ist, dass sich die Physiker manchmal viel mehr mit den Ergebnissen von Berechnungen befassen als mit der Natur der zugrunde liegenden mathematischen Strukturen. Nur um ein kurzes Beispiel dafür zu geben, in der Allgemeinen Relativitätstheorie sind wir oft daran interessiert, die Bewegung eines Teilchens in einer bestimmten Raumzeit zu untersuchen. Man bezeichnet dann oft die Koordinaten der Weltlinie des Teilchens als$x^\mu(\tau)$und studiert die geodätische Gleichung

$$\ddot{x}^\mu+\Gamma^\mu_{\nu\sigma}\left(x\left(\tau\right)\right)\dot{x}^\nu \dot{x}^\sigma=0.\tag{1}$$

Also,$x^\mu(\tau)$sind dann nur vier Funktionen einer einzigen Variablen, während$\Gamma^\mu_{\nu\sigma}(x)$ist nur eine Sammlung von Funktionen der vier Variablen$x^\mu$.

Was die Berechnung betrifft, läuft es auf (1) hinaus, aber hinter den Kulissen$x^\mu(\tau)$ist wirklich die Koordinate, die eine Kurve in einer glatten Mannigfaltigkeit mit semi-riemannscher Metrik repräsentiert, während$\Gamma^\mu_{\nu\sigma}$sind die Koordinatenrepräsentanten eines Objekts namens Levi-Civita-Verbindung auf der Mannigfaltigkeit.

Dasselbe gilt für die Quantenmechanik. Man kann sich nur die Schrödinger-Gleichung ansehen

$$-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi+V\Psi=i\hbar \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}\tag{2}$$

und siehe dort eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine komplexwertige Funktion$\Psi(t,x)$. Dies wäre das quantenmechanische, nicht-relativistische Analogon von (1).

Was die Berechnung betrifft, läuft es wieder auf (2) hinaus, aber jetzt hinter den Kulissen$\Psi(t,x)$ist eigentlich eine Kurve in einem Hilbertraum$t\mapsto \Psi(t,\cdot)$deren Elemente komplexwertige, quadratintegrierbare Funktionen sind. Man kann sich auf einen noch abstrakteren Standpunkt berufen, auf dem wir eine Grundlage haben$|x\rangle$und wir sehen uns die Mengen an$\Psi(t,x)=\langle x|\Psi(t)\rangle$als Koordinaten des Vektors$|\Psi(t)\rangle$auf dieser Grundlage.

So etwas gibt es überall: Wir haben eine abstrakte mathematische Struktur, die allen Berechnungen in der Physik zugrunde liegt. Der Grund, warum diese abstrakte mathematische Struktur wichtig ist und nicht nur die Berechnung, ist, dass sie die Dinge viel logischer organisiert. Dies ermöglicht ein besseres Verständnis, die Beseitigung von Mehrdeutigkeiten und gibt manchmal Einblicke in die Vereinfachung von Berechnungen.

Da Sie Quantenmechanik studieren, werden Sie dies bald herausfinden: Wenn Sie den harmonischen Oszillator studieren, führt Sie das Durchgehen der Komponentenberechnung (2) zur Lösung der Hermite-Gleichung. Aber die Nutzung des abstrakten Standpunkts des Hilbert-Raums führt Sie zu Vernichtungs- und Schöpfungsoperatoren und einer relativ einfacheren (und meiner Meinung nach eleganteren) Methode, um Ihre Lösungen zu erhalten.

Das gleiche wird mit dem Bahndrehimpuls passieren, wo (2) Sie dazu führt, das Laplace-Eigenwertproblem auf der Kugel (und schließlich die zugehörige Gleichung von Legendre) zu untersuchen, während Sie der abstrakte Hilbert-Raum-Standpunkt dazu führt, die Rotationsalgebra zu untersuchen, die letztendlich gibt Ihnen eine alternative Konstruktion der sphärischen Harmonischen.

Da Sie ein Beispiel dafür haben wollten, wo die abstrakte Formulierung von Zustandsvektoren verwendet werden kann, ist hier eine Art "Ableitung" (gelesen als Motivation) des Impulsoperators im Positionsraum. Alles Folgende ist in 1-D

Vermuten$\left|\Psi(t)\right>$ist der Zustandsvektor des Systems und$\left|x\right>$ein Ortseigenzustand ist (streng genommen liegen diese nicht im Hilbertraum). Seit$\left|x\right>$Die Grundlage für unseren Raum bildet der Zustand, den wir als Linearkombination schreiben können$\left|x\right>$folgendermaßen

$$\left|\Psi(t)\right>=\int \mathrm{d}x \left|x\right> \left<x| \Psi(t)\right>$$ Wir können uns jetzt von der klassischen Mechanik anlehnen und die Tatsache nutzen, dass das Momentum ein Generator von Übersetzungen ist. Damit können wir den infinitesimalen Übersetzungsoperator schreiben$T(dx)$als $$T(dx)=1-i\frac{\hat p dx}{\hbar}$$ Der$-i$erscheint seitdem$\hat p$wird als hermitesch angenommen (die$\hbar$ist für passende Einheiten) und das

A)$T(dx)$einheitlich sein
b)$T(-dx)=T^{-1}(dx)$und das
c)$T(dx)T(dx')=T(dx+dx')+O(dx^2)$

Wir können uns bewerben$T(\Delta x)$zu unserem Zustand oben und wir bekommen

$$\begin{aligned}(1-i\frac{\hat p \Delta x}{\hbar})\left|\Psi(t)\right>&=\int\mathrm{d}x'T(\Delta x)\left|x'\right> \left<x'| \Psi(t)\right> \\&=\int\mathrm{d}x'\left|x'+\Delta x\right> \left<x'| \Psi(t)\right> \\&=\int\mathrm{d}x'\left|x'\right>\left<x'-\Delta x| \Psi(t)\right> \\&=\int\mathrm{d}x'\left|x'\right>(\left<x'| \Psi(t)\right>-\Delta x\frac{\partial}{\partial x'} \left<x'| \Psi(t)\right>) \end{aligned}$$ Die zweite Zeile verwendet die Definition von$T(dx)$Auf einem Positions-Eigenket führt die dritte Zeile eine Substitution von Variablen durch$x'+\Delta x \rightarrow x'$und die letzte Zeile führt eine Taylor-Erweiterung durch. Auf beiden Seiten erweitern und abbrechen$\left|\Psi(t)\right>$wir bekommen $$\hat p \left|\Psi(t)\right>=\int\mathrm{d}x'\left|x'\right>(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x'} \left<x'| \Psi(t)\right>)$$

Links multiplizieren mit$\left<x\right|$und mit der Tatsache, dass$\left<x|x'\right>=\delta(x-x')$wir bekommen

$$\left<x\right|\hat p \left|\Psi(t)\right>=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \left<x| \Psi(t)\right>$$

Seit$\left<x| \Psi(t)\right>$ist die Wellenfunktion der Impulsoperator im Ortsraum

$$\hat p_{position\ space}=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$$

Ich sehe hier zwei wichtige Fragen:

Frage 1: Was ist der Sinn der linearen Algebra in QM, wenn alle Probleme, die ich löse, typischerweise mit Wellenfunktionen arbeiten und keine lineare Algebra verwenden?

Frage 2: Was ist konzeptionell die Bedeutung von "Hilbert-Räumen"? Warum "Hilbert-Räume" so oft erwähnt werden, ist etwas Besonderes an ihnen, wenn die Definition fast nie wirklich erwähnt oder bei einer echten Problemlösung verwendet wird, auf die ich gestoßen bin.

Die erste Frage ist die Antwort von @user7896, @andrew, @jMurray und @gold. Ich denke, diese Antworten sind in Ordnung, haben aber auch einen anderen Vorschlag.

Ich empfehle Ihnen, sich Spin-1/2-Systeme anzusehen. Dies ist ein allgemein verwendetes System, das in einer diskreten Überlagerung von nur 2 diskreten Möglichkeiten (Spin-Up oder Spin-Down) sein kann. Der Quantenzustand dieses Systems kann durch eine einfache 2x1-Matrix (ein Array für die jedem Zustand zugeordneten Wahrscheinlichkeitsamplituden) dargestellt werden. Dies ist der einfachste Quantenzustand, mit dem man arbeiten kann, und wird oft als Qbit bezeichnet. Oft reicht nur lineare Algebra aus, um Ihnen zu sagen, was mit diesem Zustand passieren wird. Wenn Sie es beispielsweise zeitlich weiterentwickeln möchten, können Sie es mit multiplizieren$e^{i\hat{H} t}$Wo$\hat{H}$ist eine 2-mal-2-Matrix, die den Hamilton-Operator des Systems darstellt. Ich finde, dass die Methode der linearen Algebra viel nützlicher ist, um zu verstehen, wie Wahrscheinlichkeitsamplituden interferieren. Jetzt kann jedes Problem mit einer diskreten Anzahl von Zuständen einfach mit linearer Algebra arbeiten, und Sie können sehr deutlich sehen, wie sich die Wahrscheinlichkeitsamplituden addieren und subtrahieren.

Darüber hinaus können alle kontinuierlichen Systeme (z. B. ein Teilchen in einer Kiste) tatsächlich als das betrachtet werden, was auftritt, wenn Sie einen Vektor nehmen und ihm eine unzählbar unendliche Anzahl von Möglichkeiten geben (mit Wahrscheinlichkeitsamplituden, die jeder Möglichkeit zugeordnet sind). Stellen Sie sich also ein Teilchen in einer Kiste als in N diskreten Behältern vor und nehmen Sie dann die Anzahl der Behälter auf unendlich. Sie können es mit linearer Algebra für den diskreten Teil darstellen, und die vollständige kontinuierliche Darstellung ist nur, wenn Sie es auf unendlich viele Bins bringen.

Nun hat bisher nur eine Person (@J. Murray) versucht, die zweite Frage zu beantworten:

Frage 2: Was ist konzeptionell die Bedeutung von "Hilbert-Räumen"? Warum "Hilbert-Räume" so oft erwähnt werden, ist etwas Besonderes an ihnen, wenn die Definition fast nie wirklich erwähnt oder bei einer echten Problemlösung verwendet wird, auf die ich gestoßen bin.

Technisch auf Wikipedia steht geschrieben:

Hilbert-Räume (benannt nach David Hilbert) ermöglichen die Verallgemeinerung der Methoden der linearen Algebra und Analysis von den zweidimensionalen und dreidimensionalen euklidischen Räumen auf Räume, die eine unendliche Dimension haben können. Ein Hilbert-Raum ist ein Vektorraum, der mit einer inneren Produktoperation ausgestattet ist, die es ermöglicht, eine Abstandsfunktion und eine Rechtwinkligkeit (in diesem Zusammenhang als Orthogonalität bekannt) zu definieren. Darüber hinaus sind Hilbert-Räume für diese Entfernung vollständig, was bedeutet, dass es genügend Grenzen im Raum gibt, um die Verwendung der Techniken der Analysis zu ermöglichen.

Das ist ähnlich dem, was ich im ersten Teil der Antwort gesagt habe. (Bringen Sie die Behälter ins Unendliche und überarbeiten Sie das algebraische Skalarprodukt in dieser Grenze).

Aber es gibt eine konzeptionelle Komponente, die meiner Meinung nach hier fehlt. Ebenso verwenden wir oft den Begriff „Hilbert-Raum“, um den „Möglichkeitsraum“ zu bezeichnen, in dem unsere Wahrscheinlichkeitsamplituden leben. Dieser „Möglichkeitsraum“ für einfache Probleme ist normalerweise sehr offensichtlich für einfache Probleme. Für ein qbit-System (nehmen Sie zum Beispiel ein Spin1/2-Teilchen) können unsere Wahrscheinlichkeitsamplituden nur in 2 möglichen Zuständen existieren (also könnten wir einen Zustand haben$\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$zum Beispiel, was geschrieben werden könnte als$\left[\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}\right]$als Vektor.).

Aber für ein 2-Qbit-System beträgt die Anzahl der Möglichkeiten 4. Und für ein 3-Qubit-System beträgt die Anzahl der Möglichkeiten 8 (jede mögliche Konfiguration möglicher Möglichkeiten, wie die 3 Partikel oben oder unten sein könnten, wie z. B. wie viele Konfigurationen es zum Werfen von 3 Münzen gibt ). Jedem möglichen Ergebnis kann eine eigene unabhängige Wahrscheinlichkeitsamplitude zugeordnet werden.

Der Hilbert-Raum für das 3-Qubit-System ist beispielsweise:

$\begin{align} |0\rangle_1|0\rangle_2|0\rangle_3\\ |0\rangle_1|0\rangle_2|1\rangle_3\\ |0\rangle_1|1\rangle_2|0\rangle_3\\ |0\rangle_1|1\rangle_2|1\rangle_3\\ |1\rangle_1|0\rangle_2|0\rangle_3\\ |1\rangle_1|0\rangle_2|1\rangle_3\\ |1\rangle_1|1\rangle_2|0\rangle_3\\ |1\rangle_1|1\rangle_2|1\rangle_3 \\ \end{align}$

Der Hilbert-Raum für ein 3-Qubit-System ist die Menge aller möglichen Konfigurationen, in denen sich jeder dieser Zustände befinden kann, und wir weisen diesen kombinatorischen Konfigurationen Wahrscheinlichkeitsamplituden zu . So könnte sich beispielsweise ein 3-Qubit-System in einem Überlagerungszustand befinden$|0\rangle_1|0\rangle_2|0\rangle_3- |0\rangle_1|1\rangle_2|0\rangle_3$. Diese Tatsache, dass Wahrscheinlichkeitsamplituden möglichen Ergebnissen zugeordnet werden, ist meiner Meinung nach das Wesen von QM.

Das bedeutet, dass unser "Hilbert-Raum" (was wir wirklich meinen, der Möglichkeitsraum ist, in dem alle unsere Konfigurationen existieren, denen Wahrscheinlichkeitsamplituden zugeordnet werden können) viel, viel größer wird.

Es ist diese umgangssprachliche Verwendung des Begriffs „Hilbert-Raum“, in der wir uns auf den exponentiell wachsenden Möglichkeitsraum beziehen, der meines Erachtens sehr selten erklärt wird und oft die Quelle begrifflicher Verwirrung ist.

Ihre Verwirrung ergibt sich aus dem Unterschied, wie Mathematik Physikern und Mathematikern beigebracht wird.

Nehmen Sie zum Beispiel einen Ausdruck wie

$$\int_{-\infty}^\infty\mathrm d x\, |f(x)|^2.$$ Ein Physiker würde sofort versuchen, dies mit den ihm bekannten Werkzeugen zu berechnen, aber ein Mathematiker würde zuerst Fragen stellen. Dies liegt daran, dass dieses Integral eigentlich eine Grenze ist: $$\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{-R}^R\mathrm d x\, |f(x)|^2$$ Der Mathematiker könnte also fragen, ob es diese Grenze überhaupt gibt? Wenn dies nicht der Fall ist, erhalten Sie möglicherweise unsinnige Antworten, die sich ändern, je nachdem, wie Sie das Limit nehmen. Es könnte noch andere gültige Fragen geben, die Sie stellen könnten, aber ich bin Physiker, also kenne ich sie nicht.

Eines der Ergebnisse, die zu Hilbert-Räumen geführt haben, ist die Tatsache, ob$f,g$sind beide quadratintegrierbar, dh

$$\int_{-\infty}^\infty\mathrm d x\, |f(x)|^2\text{ is finite}$$ dann können wir ein inneres Produkt definieren, das durch gegeben ist $$\langle f|g\rangle=\int_{-\infty}^\infty\mathrm dx f^*(x)g(x).$$ Dieses innere Produkt hat dann viele nette Eigenschaften, die dazu führen, dass es sich wie das reguläre Punktprodukt verhält, und dies ermöglicht es uns, die Kraft der linearen Algebra zu nutzen. Siehe auch https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space#History .

Quantenmechanik zu betreiben, ohne Hilbert-Räume zu kennen, ist also wie Autofahren, ohne zu wissen, wie der Motor funktioniert. Die meiste Zeit wird es Ihnen gut gehen, aber Sie sollten all die harte Arbeit zu schätzen wissen, die in die Herstellung und Wartung Ihres Autos geflossen ist. Ich habe meinen QM-Kurs mit nur einem vagen Verständnis von Hilbert-Räumen bestanden. Tatsächlich ist eine der ersten Wellenfunktionen, die Sie kennen lernen$\exp(ipx/\hbar)$was eine Eigenfunktion des Impulsoperators und auch des Freiteilchen-Hamiltonoperators ist. Diese Wellenfunktion ist nicht einmal quadratintegrierbar und damit keine echte Lösung des freien Teilchens (eine Superposition in Form eines Integrals ist es aber). Das wird oft unter den Teppich gekehrt und das aus gutem Grund. Sie möchten etwas über QM lernen und das Erlernen der gesamten Theorie hinter Hilbert-Räumen wäre langwierig und/oder verwirrend.