Warum sind Eigen-Dinge besser/nützlicher als Nicht-Eigen-Dinge?

Ein Eigenvektor ist ein Vektor, der seine Richtung nicht ändert, wenn eine Transformation angewendet wird. Im Fall von beispielsweise einem (Hamiltonschen) Energieeigenzustand handelt es sich um einen Zustand, der die "Richtung" nicht ändert (nicht genau sicher, worauf das abgebildet werden soll). Aber warum ist das spezieller/wichtiger/nützlicher als alle anderen Zustände?

Liegt es daran, dass Sie potenziell jeden der anderen Zustände mit den Eigenzuständen „konstruieren“ können, also ist das alles, worüber Sie sich Sorgen machen müssen?

Es ist nur so, dass das Lösen einer linearen Algebra-Gleichung wirklich einfach ist, sobald Sie die Eingaben in Form von Eigenvektoren schreiben. Das fragst du?
In der Schiffstechnik wurde uns beigebracht, dass die Eigenfrequenzen des Rumpfes die Geschwindigkeit des Schiffes begrenzen. Das heißt, die maximale Vibrationsgeschwindigkeit des Motors muss kleiner sein als die niedrigste Eigenfrequenz des Schiffskörpers. Damit wird die Flankengeschwindigkeit eingestellt; Höhere Geschwindigkeiten führen dazu, dass der Rumpf mitschwingt, was zu einem katastrophalen Versagen führt. Nur in StarTrek kann dieses Schicksal ignoriert werden! Die Eigenvektoren sind die Richtungen maximaler Resonanz.

Antworten (1)

Sie können Quantenzustände aufschreiben als | ψ ⟩ = ∑ k C k | ϕ k ⟩ für jede Grundlage | ϕ k ⟩ . Wenn Sie jedoch eine Basis wählen, die keine Eigenbasis des Hamilton-Operators ist, ändern sich die Koeffizienten mit der Zeit, und es wäre äußerst schwierig, sie zu verfolgen. Daher ist eine solche Erweiterung nicht sehr nützlich. Fazit: Grundsätzlich ist jede Basis so gut wie jede andere. Wir verwenden normalerweise bestimmte Basen, wie die Eigenbasis des Hamilton-Operators, weil es dann einfacher ist, echte physikalische Probleme zu lösen.

Es ist wichtig zu verstehen, dass das Eigenproblem nicht auf Quantendinge beschränkt ist. Es taucht auch bei gekoppelten Oszillationsproblemen und allgemeinen Drehungen auf, um zwei andere Themen zu nennen, die in einer Grundausbildung auftauchen, sowie in anderen Fächern, denen Sie wahrscheinlich nur begegnen werden, wenn Sie sich so tief in einige Themen einarbeiten. Und an allen Stellen, an denen es scheint, vereinfacht die Identifizierung der Eigenvektoren (für ein verallgemeinertes Verständnis von "Vektor") die Lösung des allgemeinen Problems.
Mir wurde beigebracht, dass es drei wichtige Regeln in der linearen Algebra gibt: Erstens, wähle niemals eine Basis. Zweitens, denken Sie niemals daran, eine Basis zu wählen. Drittens, wenn Sie eine Basis wählen, wählen Sie sie mit Bedacht aus.
Warum sind Eigen-Dinge besser/nützlicher als Nicht-Eigen-Dinge?
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