Was bedeutet eigentlich |x,t⟩|x,t⟩\left|x,t\right> (Heisenberg-Bild)?

Ich bin ziemlich verwirrt mit dieser Notation, glaube ich. Die Heisenberg-Zustände sind mit bezeichnet | X , T ⟩ und die Schrödinger-Zustände sind gegeben durch | X ( T ) ⟩ . Es scheint, als ob beide mit der Zeit parametrisiert sind, aber der Schrödinger-Zustand wird durch den Positionsvektor parametrisiert,

Aber dann wird im Fall des Heisenberg-Bildes der Zustand unter Verwendung von zwei Variablen parametrisiert X , T ? Was ist dieser lineare Vektorraum?

Zweitens im Fall des Positionsoperators im Heisenberg-Bild X ^ H ( T ) Die Eigenwertgleichung ist so gegeben,

X ^ H ( T ) | X , T ⟩ = X | X , T ⟩ .
Bedeutet das also für jede Zeit T von X ^ H ( T ) Es gibt einen Eigenwert X mit dem Eigenvektor | X , T ⟩ . Bedeutet das also

X ^ H ( T ' ) | X , T ⟩ = 0 .

Antworten (2)

I) Erinnere dich daran, dass im Heisenberg-Bild Operatoren [wie zB der Ortsoperator X ^ ( T ) ] entwickeln sich mit der Zeit T , während Zustände (kets & bras) zeitunabhängig sind T .

Insbesondere ein momentaner Positionseigenzustand | X 0 , T 0 ⟩ H im Heisenberg - Bild nicht zeitabhängig T , vgl. Ref. 1. Ein Momentanpositions-Eigenzustand erfülle

(1) X ^ ( T = T 0 ) | X 0 , T 0 ⟩ H   =   X 0 | X 0 , T 0 ⟩ H , H ⟨ X 1 , T 0 | X 2 , T 0 ⟩ H   =   δ ( X 1 − X 2 ) .

Es ist wichtig zu betonen, dass es keine Anforderungen gibt | X 0 , T 0 ⟩ H für T ≠ T 0 .

II) Eine typische Anwendung momentaner Ortseigenzustände [z. B. im Zusammenhang mit dem Zeitscheibenverfahren für das Feynman-Pfadintegral , vgl. Ref. 1] soll den Einheitsoperator zerlegen 1 über eine integrale Darstellung momentaner Positionseigenzustände

(2) 1   =   ∫ R D X 0   | X 0 , T 0 ⟩ H   H ⟨ X 0 , T 0 | .

Verweise:

  1. JJ Sakurai, Moderne Quantenmechanik, 1994; Abschnitt 2.1 und Abschnitt 2.5.

Ich denke, Ihre Verwirrung rührt von dem Unterschied zwischen den beiden Bildern her. Für das Schrödinger-Bild die Staaten | X ( T ) ⟩ können sich mit der Zeit entwickeln, während die Operatoren festgelegt sind. Für das Heisenberg-Bild sind die Zustände jedoch fest und entwickeln sich nicht mit der Zeit, sondern die Operatoren entwickeln sich mit der Zeit.

Schrödinger-Bild : Angesichts einiger Basis-Ket, | X ⟩ , wir können es rechtzeitig entwickeln, um es zu bekommen | X ( T ) ⟩ = U ( T ) | X ⟩ , Wo U ( T ) = e − ich H T / ℏ ist der Zeitentwicklungsoperator. Die Eigenwertgleichung lautet nun:

X | X ( T ) ⟩ = X ( T ) | X ( T ) ⟩

Heisenberg Bild : Jetzt steht der Stand fest | X ⟩ , aber wir entwickeln den Operator weiter. X ( T ) = U † ( T ) X U ( T ) , Wo U ( T ) ist derselbe Zeitentwicklungsoperator wie zuvor. Die Eigenwertgleichung lautet nun:

X ( T ) | X ⟩ = X ( T ) | X ⟩

BEARBEITEN: Um die ersten beiden Fragen zu beantworten, wird der Staat als bezeichnet | X , T ⟩ um anzuzeigen, dass es sich um einen festen Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt handelt T , ist es immer noch Teil des Hilbert-Raums. Für die nächsten zwei Fragen, für jedes Mal T von X ( T ) , gibt es einen Eigenwert X ( T ) . Ich weiß nicht, von welcher Uhrzeit Sie sprechen T ' , aber im Allgemeinen nein, ist nicht Null.

Es tut mir leid, aber ich verstehe nicht, wie das meine Frage beantwortet. Ich verstehe alles, was Sie gesagt haben. Wenn der Zustand keine Zeitabhängigkeit hat, was ist der Grund für die Wahl der Notation? | X , T ⟩ . Bedeutet das zu sagen, dass jeder Zustand selbst eine eigene Zeitparametrisierung hat, anders als im Fall Schrödinger? Dies beantwortet auch nicht die letzte Gleichung in der Frage.
Ich habe die Fragen genauer beantwortet, bin mir aber bei einigen der von Ihnen verwendeten Notationen etwas unsicher.
Was bedeutet eigentlich |x,t⟩|x,t⟩\left|x,t\right> (Heisenberg-Bild)?
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