Mathematik des Eigenwertproblems in der Quantenmechanik

Question

Mathematik des Eigenwertproblems in der Quantenmechanik

Benutzer1285419

Ich habe das Eigenwertproblem in der linearen Algebra schon früher gelernt und finde einfach heraus, dass die Quantenmechanik die Schrödinger-Gleichung zufällig mit dem Eigenwertproblem in Verbindung bringt. In der linearen Algebra geben wir immer die Matrix einer bestimmten Größe (z. B. 4x4) an, damit das Finden der Eigenwerte identisch ist, um die zugehörige Säkulargleichung zu lösen. In der Quantenmechanik scheint es in den meisten Fällen, dass die Dimension der Matrix nicht bekannt oder sehr groß ist, also wie findet man in diesem Fall den Eigenwert? Ich habe gerade ein Problem in einem Buch gesehen, wenn wir es wissen $A|a\rangle=a|a\rangle$ Und $A|b\rangle=b|b\rangle$ für einen hermiteschen Operator $A$ . Was ist der Eigenwert eines Hamilton-Operators $H=|a\rangle\langle b| + |b\rangle\langle a|$ . Es ist so verwirrend für mich, denn wenn wir die Matrix und die Elemente nicht kennen, wie können wir dann die Säkulargleichung schreiben und die Eigenwerte finden? Tut mir leid, dass ich vorher keinen Kurs über Quantenmechanik belegt habe, ich lerne alles selbst, also könnte ich mich in einigen Aussagen oben irren.

Br

Dies ist nur eine Bemerkung und keine Antwort auf Ihre Fragen, aber ich wollte erwähnen, dass der Hilbert-Raum in typischen physikalischen Systemen unendlich groß sein muss. Dies gilt genauer, wenn Sie ein Paar kanonisch konjugierter Variablen haben, sagen wir einen Positionsoperator

\hat{q}

$\hat q$ und Impulsoperator

\hat{p}

$\hat p$ . Per Definition von „kanonisch konjugiert“ erfüllen sie

[\hat{q}, \hat{p}] = i Id

$[\hat q,\hat p] = i \text{Id}$ (bis zu einem Schild). Wenn die Dimension endlich ist, dann ist die Spur eines beliebigen Operators definiert, und wenn man die Spur dieser Beziehung nimmt, gelangt man zu einem Widerspruch.

Antworten (5)

Mathematik des Eigenwertproblems in der Quantenmechanik

Dies ist nur eine Bemerkung und keine Antwort auf Ihre Fragen, aber ich wollte erwähnen, dass der Hilbert-Raum in typischen physikalischen Systemen unendlich groß sein muss. Dies gilt genauer, wenn Sie ein Paar kanonisch konjugierter Variablen haben, sagen wir einen Positionsoperator $\hat q$ und Impulsoperator $\hat p$ . Per Definition von „kanonisch konjugiert“ erfüllen sie $[\hat q,\hat p] = i \text{Id}$ (bis zu einem Schild). Wenn die Dimension endlich ist, dann ist die Spur eines beliebigen Operators definiert, und wenn man die Spur dieser Beziehung nimmt, gelangt man zu einem Widerspruch.

zonksoft · Answer 1

Grundsätzlich der Betreiber $H$ ist keine Matrix. Sie können jedoch eine Matrixdarstellung aufschreiben. Dazu braucht man eine Basis, die vollständig sein sollte (=sehr große Matrix, wahrscheinlich unendlich groß) - für viele anschauliche Fälle in der Quantenmechanik ist sie nicht vollständig.

Wenn Ihre Basis besteht aus $|a\rangle$ Und $|b\rangle$ , es ist nicht vollständig, aber Sie können einige Effekte trotzdem schön beschreiben.

Sie haben das Beispiel gegeben $H=|a\rangle\langle b| + |b\rangle\langle a|$ , was bedeutet, dass $H$ ist (es ist nur eine andere Art, es zu schreiben)

H = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}),

$H=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix},$

und Sie können seine Eigenwerte berechnen.

Für eine allgemeine 2x2-Hamilton-Matrix lautet die Formel

H = \sum_{ich, J} C_{ich, J} | ich ⟩ ⟨ J | = (\begin{matrix} C_{1, 1} & C_{1, 2} \\ C_{2, 1} & C_{2, 2} \end{matrix})

$H=\sum_{i,j}c_{i,j}|i\rangle\langle j|=\begin{pmatrix} c_{1,1} & c_{1,2}\\ c_{2,1} & c_{2,2} \end{pmatrix}$

$i$ Und $j$ kann den Wert annehmen $a$ Und $b$ .

Die Matrix ist eine 2x2-Matrix, da der Hamiltonoperator nur zwei Vektoren enthält, $a$ Und $b$ .

Wie man einen Hamilton-Operator in eine Matrix erweitert, ist auf Wikipedia (erste vier Formeln des Abschnitts) schön erklärt. Wenn es schon in der abstrakten Form ist $H=|a\rangle\langle b| + |b\rangle\langle a|$ , können Sie es einfach ablesen: Der Vorfaktor von $|a\rangle\langle a|$ ( $=0$ ) ist der obere linke Eintrag, der Vorfaktor von $|a\rangle\langle b|$ ( $=1$ ) ist der obere linke Eintrag usw.

Sie müssen die explizite Form der Basis, in der die Matrix geschrieben ist, nicht kennen. Denken Sie daran, dass die Eigenwerte einer Matrix gegenüber unitären Transformationen unveränderlich sind.

Wow, es ist so schockierend für mich, dass wir, selbst wenn wir die Form oder |a> und |b> nicht kennen, immer noch die Matrixform von H schreiben können? Wie machst du das? Wie können Sie die Informationen aus extrahieren $H = |a\rangle \langle b| + |b \rangle \langle a|$ um also das Matrixelement außerhalb der Diagonale auf 1 zu bringen? Und woher weißt du, dass H 2x2 ist? Entschuldigung, es gibt einige Begriffe, die ich aus Ihrer Antwort nicht verstehe, aber ich denke, Sie meinen, wir können Vektoren als Basis wählen und wir können auch andere Matrizen als Basis wählen. In der letzten Gleichung, die Sie zeigen, wählen Sie also die Matrix aus $|i\rangle \langle j|$ als Grundlage für die Erweiterung von H, richtig?
„Wie können Sie die Informationen extrahieren? $H=|a\rangle\langle b|+|b\rangle\langle a|$ um also das Matrixelement außerhalb der Diagonale auf 1 zu bringen?": Was ist der Vorfaktor von $|b\rangle\langle a|$ ? Oder genauer gesagt, was ist $\langle b |H| a \rangle$ Wenn $|a\rangle,|b\rangle$ sind orthogonal?

Konrad Hiran · Answer 2

Sie müssen den Unterschied zwischen einer linearen Transformation T und der Matrix A verstehen, die sie darstellt. Die Einträge von A hängen von der spezifischen Basis ab, in der Sie arbeiten. Sie sollten sich aus der linearen Algebra erinnern, dass Sie T auf die Basisvektoren anwenden, um die Spalten von A zu finden.

Zum Beispiel in Ihrem Problem, dem Hamiltonian $\hat{H}$ spielt die Rolle von T, und $\{\vert a \rangle, \lvert b \rangle\}$ ist deine Basis. Wenn Sie sich bewerben $\lvert a \rangle$ Zu $\hat{H}$ , du erhältst

\hat{H} | A ⟩ = | A ⟩ ⟨ B | A ⟩ + | B ⟩ ⟨ A | A ⟩ = | B ⟩ .

$\hat{H} \lvert a \rangle = \lvert a \rangle\langle b \vert a \rangle + \lvert b \rangle\langle a \vert a \rangle = \lvert b \rangle.$

Beachten Sie, dass diese Berechnung völlig unabhängig von den Darstellungen der Vektoren und des Hamilton-Operators ist.

In Bezug auf unsere gewählte Basis sollte Ihnen nun klar sein, dass der Vektor $\lvert a \rangle$ wird durch das geordnete Paar dargestellt $\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}$ Und $\lvert b \rangle$ wird durch das geordnete Paar dargestellt $\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}$ . In Bezug auf Matrizen und die geordneten Paare ist die Relation $\hat{H}\lvert a \rangle = \lvert b \rangle$ geschrieben werden würde

A (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}),

$A\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},$ so ist die erste Spalte von A

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Sie finden die zweite Spalte von A, indem Sie sich bewerben

| b ⟩

$\lvert b \rangle$ Zu

\hat{H}

$\hat{H}$ . Sobald Sie die Matrix haben, können Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren auf die übliche Weise finden.

Ich wollte so etwas posten, aber Conrad war zuerst da. An den OP-Benutzer 1285419: Das Eigenwertproblem kann für jeden linearen Operator definiert werden. Zum Beispiel, $\frac{d^2y}{dx^2} = ky$ , die einfache harmonische Gleichung, ist ein Eigenwertproblem! (siehe Sturm-Liouville). Die Lösungen zu dieser ODE, $y$ , sind die Eigenfunktionen des linearen Operators $\frac{d^2}{dx^2}$ . Tut $\frac{d^2}{dx^2}$ Haben Sie eine Matrixdarstellung? Ja - zum Beispiel die Auswahl einer Basis $\{1, x, x^2, \cdots \}$ , kann man dafür eine unendlich dimensionale Matrix schreiben. aber das Wichtigste ist, dass Sie nicht müssen!

Markus Eichenlaub · Answer 3

Das Zeug über den Betreiber $A$ nur damit ihr das wisst $|a\rangle$ Und $|b\rangle$ sind orthogonal (wenn wir annehmen $a \neq b$ ). Dies folgt aus den Eigenschaften hermitescher Operatoren (bewerten Sie einfach $\langle a | A | b\rangle$ zwei verschiedene Wege).

Seit $|a\rangle$ Und $|b\rangle$ orthogonal sind, sie sind eine gute Wahl für eine Basis, und wir können die Matrix von schreiben $H$ auf dieser Grundlage. Es ist der Operator, der schaltet $|a\rangle$ Und $|b\rangle$ (Dies ist ohne die Matrix ziemlich einfach zu sehen, aber Sie haben nach der Matrix gefragt). Das Quadrat dieses Operators ist die Identität, also sind es seine Eigenwerte $\pm 1$ .

Danke Markus. Ich verstehe diesen Gedanken nicht ganz, ich weiß, dass er richtig ist (ich habe die ähnliche Aussage aus einem Buch gelesen). Meine Frage ist, auch wenn wir die explizite Form von |a> und |b> nicht kennen, können wir trotzdem wissen, dass die Eigenwerte von H? Außerdem haben Sie angegeben, dass die Eigenwerte +/- 1 sind. Was ist also der entsprechende Eigenvektor? Ich versuche, H auf |a> oder |b> anwenden zu lassen, aber es gibt mir |a> oder |b> nicht zurück, sodass ich weiß, dass sie nicht die Eigenvektoren sind. Es scheint, dass |a> + |b> die Eigenvektoren sein könnten, aber ich weiß nicht warum (nur raten)
Was meinen Sie mit "der expliziten Form von |a> und |b>"? Sie sind Vektoren in einem Vektorraum. Wir wissen, dass sie orthogonal sind. Was willst du noch von ihnen? Die Eigenvektoren sind |a> + |b> und |a> - |b>.

webb · Answer 4

Eigenwertprobleme sind viel allgemeiner als das, was Sie in Matrizen sehen. Beispielsweise können Sie nach Lösungen für das Eigenwertproblem suchen

$\frac{d }{d x} y = \lambda y$

lösen für $\lambda$ . Die Lösung ist natürlich $y = e^{\lambda x}$ Und $\lambda$ kann ein Kontinuum sein. Wenn Sie einige andere Randbedingungen auferlegen, erhalten Sie möglicherweise ein diskretes Spektrum von $\lambda$ .

Wenn Sie auf einer Matrixdarstellung bestehen, können Sie orthogonale Funktionen als Ihre "Basisvektoren" und ihre Orthogonalitätsbeziehungen verwenden, um ein inneres Produkt zu definieren. Informieren Sie sich über den harmonischen Quantenoszillator, und Hermite-Polynome sind eine orthogonale Basis, um die Lösung dahingehend zu erweitern, dass auch die Differentialgleichung exakt gelöst wird.

José Javier García · Answer 5

Diese Matrix hat nur 2 Zustände $|a>$ Und $|b>$

dann wird ti eine 2x2-Matrix sein

mit Elementen

$a1,1 = <a|a><b|a>+<a|b><a|a>$

$a1,2=a2,1 = <a|a><b|b>+<a|b><a|b>$

$a2,2 = <b|a><b|b>+ <b|b><a|b>$

Aus dieser Matrix können Sie die Eigenwerte auswerten

Mathematik des Eigenwertproblems in der Quantenmechanik

Benutzer1285419

Br

Antworten (5)

zonksoft

Benutzer1285419

löschen000

Konrad Hiran

nervexxx

Markus Eichenlaub

Benutzer1285419

Markus Eichenlaub

webb

José Javier García

Warum sind Eigen-Dinge besser/nützlicher als Nicht-Eigen-Dinge?

Was bedeutet eigentlich |x,t⟩|x,t⟩\left|x,t\right> (Heisenberg-Bild)?

Warum können Operatoren in der Quantenmechanik als Matrizen dargestellt werden?

Habe ich Recht, wenn ich sage, dass Leiteroperatoren komplexe Eigenwerte haben?

Darstellung von Operatoren in der Quantenmechanik

Einschränkung eines Betreibers

Wenn wir von diskreten (aber unendlichen) Eigenzuständen auf kontinuierliche Eigenzustände verallgemeinern, warum ändern wir die Definition?

Abschlussbeziehung für entartete Eigenkets

Ist eine kontinuierliche Evolution von einem Eigenzustand des Operators OOO zu einem anderen OOO-Eigenzustand möglich?

Eigenwerte der unendlichen Dimensionsmatrix [Duplikat]