Hamiltonoperator, der auf den Summenoperator wirkt

Ich folge einer Ableitung in einem Buch. Es implementiert einen Staat | ψ ⟩ in die Eigenwertgleichung H ^ | ψ ⟩ = E | ψ ⟩ . Der | ψ ⟩ Begriff enthält a | ϕ ⟩ − Σ N | χ N ⟩ . . . und wenn es erweitert wird, wird es H ^ | ϕ ⟩ − Σ N E N | χ N ⟩ . . . .

Könnte jemand erklären, warum der Hamiltonian wird E N beim Handeln innerhalb des Sigma-Operators?

Vielleicht möchten Sie die erweiterte Linie etwas näher ausführen, aber es sieht so aus, als wäre sie nur der Eigenwert des n (ten) Zustands, dh die Energie des n-ten angeregten Zustands von χ (Schauen Sie sich zum Beispiel den harmonischen Oszillator an). Dies würde bedeuten, dass der Sigma-Operator und der Hamilton-Operator pendeln. Haben Sie die Form des Sigma-Operators?

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Es scheint, der Staat | ψ ⟩ ist eine Überlagerung von | ϕ ⟩ und mehrere Eigenzustände des Hamiltonoperators:

H ^ | χ N ⟩ = E N | χ N ⟩

Das Sigma bezeichnet dann nur die Summe der Eigenzustände. Und da der Hamilton-Operator linear ist, können Sie ihn problemlos auf jedes Element der Summe unabhängig voneinander anwenden.

H ^ | ψ ⟩ = H ^ ( | ϕ ⟩ − Σ N | χ N ⟩ ) = H ^ | ϕ ⟩ − H ^ ( | χ 1 ⟩ + | χ 2 ⟩ + … )
= H ^ | ϕ ⟩ − ( H ^ | χ 1 ⟩ + H ^ | χ 2 ⟩ + ⋯ ) = H ^ | ϕ ⟩ − ( E 1 | χ 1 ⟩ + E 2 | χ 2 ⟩ + ⋯ )
= H ^ | ϕ ⟩ − Σ N E N | χ N ⟩

Hamiltonoperator, der auf den Summenoperator wirkt
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