Wie beweist man diese Ungleichung für den Hamilton-Operator?

Ich versuche folgendes zu beweisen:

⟨ ψ | H ^ | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | H ^ | ψ ⟩ − ⟨ ψ | H ^ | ψ ⟩ ⟨ ϕ | H ^ | ϕ ⟩ ⩽ 0.

Ich habe einige Ideen ausprobiert, konnte aber nirgendwo hinkommen. Das habe ich ausgenutzt H ^ ist hermitesch und damit der erste Term in der Ungleichung geworden ⟨ ϕ | H ^ | ψ ⟩ ∗ ⟨ ϕ | H ^ | ψ ⟩ = | ⟨ ϕ | H ^ | ψ ⟩ | 2 und dann durch die Cauchy-Schwartz-Ungleichung, | ⟨ ϕ | H ^ | ψ ⟩ | 2 ⩽ ⟨ ϕ | ϕ ⟩ ⟨ ψ | H ^ H ^ | ψ ⟩ , aber ich kann sehen, dass dies nur entfernt wird | ϕ ⟩ aus dem Spiel.

Eine andere Idee war zu schreiben H ^ im ersten Term in äußerer Produktnotation ergibt dies:

⟨ ψ | H ^ | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | H ^ | ψ ⟩ = ∑ ich , J E ich E J ⟨ ψ | ich ⟩ ⟨ ich | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | J ⟩ ⟨ J | ψ ⟩
Ich habe versucht, daran zu arbeiten, um die Ungleichheit zu bekommen, aber es hat mich nirgendwo hingebracht.

Jede Hilfe ist willkommen.

Sie sind auf dem richtigen Weg. Aber warum nicht mit Cauchy-Schwartz anders aufteilen? Schreiben H = H H und ziehe jedem der Vektoren Psi und Phi eine Quadratwurzel.
Sie können diesen Beweis der Einfügung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung wiederholen H in der Mitte aller Skalarprodukte.

Antworten (1)

  1. 2D-Gegenbeispiel: Angenommen

    ⟨ ψ | ψ ⟩   =   1   =   ⟨ ϕ | ϕ ⟩ , ⟨ ψ | ϕ ⟩   =   0 , H ^   =   | ψ ⟩ ⟨ ψ | − | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | .

  2. Die Ungleichung von OP gilt für einen halbpositiven Operator H ^ ≥ 0 , seitdem hat es eine wohldefinierte Quadratwurzel H ^ , und es wird die Standard-Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

Ja, richtig, die von mir vorgeschlagene Lösung funktioniert nur für positive Hamiltonianer. Dieses Gegenbeispiel zeigt, dass dies nicht für alle Hamiltonianer möglich ist.
Bitte verzeihen Sie meine Unwissenheit, aber dieser Hamiltonian scheint einen negativen Eigenwert für zu haben | ϕ ⟩ , soll es nicht nur positive Eigenwerte haben?
Ein hermitescher Operator hat reelle (aber nicht notwendigerweise positive) Eigenwerte.
@VIP Normalerweise wird angenommen, dass der Hamiltonian aus physikalischen Gründen von unten begrenzt ist. Das Ergebnis gilt jedoch nur für positive Operatoren und ist daher ein Hamiltonoperator H von unten begrenzt durch − M , M > 0 , gilt das Ergebnis für den positiven Operator H + M . Physisch, H + M ist äquivalent zu H , bis hin zu einer Umskalierung der Grundzustandsenergie.
Wie beweist man diese Ungleichung für den Hamilton-Operator?
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