Probleme beim Verständnis der Nielsen & Chuang-Übung

Question

Probleme beim Verständnis der Nielsen & Chuang-Übung

G. Adams

Ich stecke wahrscheinlich nur bei etwas sehr Einfachem fest, aber ich habe Probleme, eine Prämisse von Übung 10.40 in Nielsen & Chuang zu verstehen. Die vollständigen Details der Übung sind für meine Frage nicht wichtig. Der relevante Teil ist dieser:

Vermuten $U$ ist ein $n+1$ Qubit-Gate ein $N(G_{n+1})$ so dass $U Z_1 U^\dagger = X_1 \otimes g$ Und $U X_1 U^\dagger = Z_1 \otimes g^\prime$ für einige $g, g^\prime \in G_n$ . [Hier, $G_n$ ist die Pauli-Gruppe an $n$ Qubits und $N(G_n)$ ist der Normalisierer dieser Gruppe.] Define $U^\prime$ An $n$ Qubits durch $U^\prime |\psi\rangle := \sqrt{2}\langle 0 | U(| 0 \rangle \otimes | \psi \rangle )$ .

Nun, vermutlich das $U^\prime$ Operator ist einheitlich, aber ich kann nicht herausfinden, warum dies unbedingt wahr ist.

Emilio Pisanty

Willkommen auf der Seite! Für mich sieht das nach einer guten Frage aus, aber Sie sollten trotzdem unsere Richtlinien für Fragen lesen, die aus festgelegten Übungen stammen . Auch etwas zusätzlicher Kontext (warum ist es nützlich, eine

U

$U$ mit diesen Eigenschaften?) würde nicht schaden.

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Probleme beim Verständnis der Nielsen & Chuang-Übung

Willkommen auf der Seite! Für mich sieht das nach einer guten Frage aus, aber Sie sollten trotzdem unsere Richtlinien für Fragen lesen, die aus festgelegten Übungen stammen . Auch etwas zusätzlicher Kontext (warum ist es nützlich, eine $U$ mit diesen Eigenschaften?) würde nicht schaden.

udrv · Answer 1

Schreiben

U = \frac{1}{2} ({ICH}_{1} + Z_{1}) \otimes U_{00}^{'} + \frac{1}{2} ({ICH}_{1} - Z_{1}) \otimes U_{11}^{'} + \frac{1}{2} (X_{1} + ich Y_{1}) \otimes U_{01}^{'} + \frac{1}{2} (X_{1} - ich Y_{1}) \otimes U_{10}^{'} = (\begin{array}{cc} U_{00}^{'} & U_{01}^{'} \\ U_{10}^{'} & U_{11}^{'} \end{array})

$U = \frac{1}{2}(I_1 + Z_1) \otimes U'_{00} + \frac{1}{2}(I_1 - Z_1) \otimes U'_{11} + \frac{1}{2}(X_1 + iY_1) \otimes U'_{01} + \frac{1}{2}(X_1 - iY_1) \otimes U'_{10} = \left(\begin{array}{cc} U'_{00} &U'_{01} \\U'_{10}& U'_{11}\end{array}\right)$ Wo

U_{i j}^{'} \in G_{n}

$U'_{ij} \in G_n$ . In Bezug auf letzteres

U^{'} | Ψ ⟩ = \sqrt{2} ⟨ 0 | U | 0 \otimes Ψ ⟩ = (\sqrt{2} U_{00}^{'}) | Ψ ⟩

$U' |\Psi\rangle = \sqrt{2} \;\langle 0 | U | 0\otimes \Psi \rangle = (\sqrt{2}\; U'_{00})|\Psi\rangle$ während die Einheitlichkeit von

U

$U$ gibt

U_{00}^{'} (U_{00}^{'})^{†} + U_{01}^{'} (U_{01}^{'})^{†} = U_{11}^{'} (U_{11}^{'})^{†} + U_{10}^{'} (U_{10}^{'})^{†} = {ICH}_{N}

$U'_{00} (U'_{00})^\dagger + U'_{01} (U'_{01})^\dagger = U'_{11} (U'_{11})^\dagger + U'_{10} (U'_{10})^\dagger = I_n$ und eine weitere Bedingung. Bedingung übersetzen

U Z_{1} U^{†} = X_{1} \otimes g

$UZ_1U^\dagger = X_1\otimes g$ in ähnliche Beziehungen für die

U_{i j}^{'}

$U'_{ij}$ -s und erhalten Sie das

U_{00}^{'} (U_{00}^{'})^{†} = U_{01}^{'} (U_{01}^{'})^{†} = U_{10}^{'} (U_{10}^{'})^{†} = U_{11}^{'} (U_{11}^{'})^{†} = \frac{1}{2} {ICH}_{N}

$U'_{00} (U'_{00})^\dagger = U'_{01} (U'_{01})^\dagger = U'_{10} (U'_{10})^\dagger = U'_{11} (U'_{11})^\dagger = \frac{1}{2} I_n$ usw.

Probleme beim Verständnis der Nielsen & Chuang-Übung

G. Adams

Emilio Pisanty

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udrv

Wie finden Sie den Projektionsoperator auf einen Eigenraum, wenn Sie den Eigenvektor nicht kennen?

Hermitesche Konjugation des Differentialoperators

Ist ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle für alle |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implizieren, dass A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

Erwartungswerte von LxLxL_x- und LyLyL_y-Operatoren in LzLzL_z-Eigenzuständen

Kommutator von Ort und Impuls

Finden von T†T†T^\dagger wobei Tφ(x)=φ(x+a)Tφ(x)=φ(x+a)T\varphi(x)=\varphi(x+a)

Projektionsoperatoren in einem direkten Produktraum

Der Adjoint des Adjunkten eines Operators

Positionieren Sie den Operator im Impulsraum

Gibt es eine einfache Möglichkeit, die Eigenzustände des Erzeugungs- und Vernichtungsoperators in der QM zu finden?