Projektionsoperatoren in einem direkten Produktraum

Question

Projektionsoperatoren in einem direkten Produktraum

Lachy

Die Dinge, von denen ich ziemlich sicher bin, dass ich sie verstehe: Nehmen wir an, ich habe einen Einteilchen-Hamiltonian $H$ vertreten durch a $2$ X $2$ Matrix, hat also zwei Eigenzustände $|\lambda_1\rangle$ Und $|\lambda_2\rangle$ . Auf diese Zustände kann ich zwei Projektoren definieren $P_1=|\lambda_1\rangle\langle\lambda_1|$ Und $P_2=|\lambda_2\rangle\langle\lambda_2|$ . Betrachten wir nun ein 2-Teilchen-System, so ist der Hamilton-Operator von Teilchen 1 im direkten Produktraum $H_1=H\otimes I$ und der Hamiltonoperator von Teilchen 2 ist $H_2=I\otimes H$ . Wenn ich das richtig verstehe, wird der neue Raum beispielsweise von folgenden 4 Zuständen aufgespannt: $|\lambda_i\rangle\otimes|\lambda_j\rangle$ , für $i,j=1,2$ . $H_1$ wird 4 Eigenvektoren haben, die den Energieeigenzuständen entsprechen $H_1|n\rangle=E_n|n\rangle$ von Teilchen 1 im Zwei-Teilchen-System. Auf diese Zustände, die ähnlich wie oben definiert sind, kann ich dann 4 Projektoren konstruieren, die ich nenne $P'_n$ für $n=1,2,3,4$ .

Die Frage: Ich möchte zeigen, dass für einen beliebigen Zustand im Zwei-Teilchen-Vektorraum $P'_nf(E_n)|\psi\rangle=P'_nf(H_1)|\psi\rangle$ Wo $f(E_n)$ eine Funktion der Eigenwerte des Hamilton-Operators und ist $|\psi\rangle$ . Ich weiß, wie man das für ein Ein-Partikel-System macht, aber ich habe noch keine Intuition für direkte Produkte und ich kann nicht herausfinden, wie ich die Tatsache in Einklang bringen kann $H$ hat aber 2 Zustände $H_1$ hat 4 in einem Versuch auszudrücken $P'_n$ bezüglich $P_1$ Und $P_2$ . Ich kann in Bezug auf die Zwei-Teilchen-Basis erweitern $|\psi\rangle=\sum_{i,j}c_ib_j|\lambda_i\rangle\otimes|\lambda_j\rangle$ . Dann wenden Sie den Projektor an $|n\rangle\langle n|$ aber an diesem Punkt sind mir die Ideen ausgegangen. Gibt es eine Möglichkeit, die Eigenfunktionen von zu schreiben $H_1$ in Bezug auf die Eigenfunktionen von $H$ ?

Selene Rouley

nur ein kurzer Punkt:

| ψ ⟩ = \sum_{i, j} c_{i} b_{j} | λ_{i} ⟩ \otimes | λ_{j} ⟩

$|\psi\rangle=\sum_{i,j}c_ib_j|\lambda_i\rangle\otimes|\lambda_j\rangle$ ist kein willkürlicher Zustand, sondern der Sonderfall eines faktorisierbaren oder unverschränkten Zustands. Die Koeffizienten sind hier das Kronecker-Produkt der Spaltenvektoren

c

$c$ Und

b

$b$ und ist vollständig definiert durch

2 N

$2 N$ komplexe Werte im Spaltenvektor. Ein allgemeiner, verstrickter Zustand hat

| ψ ⟩ = \sum_{i, j} C_{i j} | λ_{i} ⟩ \otimes | λ_{j} ⟩

$|\psi\rangle=\sum_{i,j}C_{i\,j}|\lambda_i\rangle\otimes|\lambda_j\rangle$ , dh Sie können die nicht aufteilen

N^{2}

$N^2$ unabhängige Koeffizienten in etwas von der Form

b \otimes c

$b\otimes c$ .

Lachy

Danke für den Hinweis, ich habe Verschränkung noch nie studiert, also ist es schön zu sehen, was es in seiner mathematischen Pracht bedeutet.

Benutzer10851

Dies ist ein häufiger Fehler in der Terminologie: das direkte Produkt

\times

$\times$ entspricht eher der direkten Summe

\oplus

$\oplus$ ; Was Sie haben, ist das Tensorprodukt

\otimes

$\otimes$ . Ein wichtiger Unterschied ist der

\dim (A \oplus B) = \dim (A) + \dim (B)

$\dim(A\oplus B)=\dim(A)+\dim(B)$ , während

\dim (A \otimes B) = \dim (A) \dim (B)

$\dim(A\otimes B)=\dim(A)\dim(B)$ . Bedauerlicherweise

2 + 2 = 2 \cdot 2

$2+2=2\cdot2$ , daher ist es in diesem speziellen Fall einfacher, verwirrt zu werden.

Lachy

Okay, womit habe ich es hier eigentlich zu tun: einen "Tensorproduktraum" oder einen "Direktsummenraum"? Ich nehme an, es ist der Tensorproduktraum da

H = H_{1} \otimes H_{2}

$\mathcal{H}=\mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2$ und in diesem Fall macht es Sinn, daran zu denken

dim (H) = dim (H_{1}) dim (H_{2})

$\text{dim}(\mathcal{H})=\text{dim}(\mathcal{H}_1)\text{dim}(\mathcal{H}_2)$ (aus der Analogie zum Spin-1/2-Fall mit zwei Teilchen, wo wir uns die 4 resultierenden Zustände als geordnete Paare von Spin-Ups und Spin-Downs vorstellen). Aber die direkte Summe kommt ins Bild, wenn wir an den "gesamten" Hamilton-Operator denken

H = H_{1} \oplus H_{2}

$H=H_1\oplus H_2$ , da möchte ich sicher gehen.

Antworten (1)

Projektionsoperatoren in einem direkten Produktraum

nur ein kurzer Punkt: $|\psi\rangle=\sum_{i,j}c_ib_j|\lambda_i\rangle\otimes|\lambda_j\rangle$ ist kein willkürlicher Zustand, sondern der Sonderfall eines faktorisierbaren oder unverschränkten Zustands. Die Koeffizienten sind hier das Kronecker-Produkt der Spaltenvektoren $c$ Und $b$ und ist vollständig definiert durch $2 N$ komplexe Werte im Spaltenvektor. Ein allgemeiner, verstrickter Zustand hat $|\psi\rangle=\sum_{i,j}C_{i\,j}|\lambda_i\rangle\otimes|\lambda_j\rangle$ , dh Sie können die nicht aufteilen $N^2$ unabhängige Koeffizienten in etwas von der Form $b\otimes c$ .
Danke für den Hinweis, ich habe Verschränkung noch nie studiert, also ist es schön zu sehen, was es in seiner mathematischen Pracht bedeutet.
Dies ist ein häufiger Fehler in der Terminologie: das direkte Produkt $\times$ entspricht eher der direkten Summe $\oplus$ ; Was Sie haben, ist das Tensorprodukt $\otimes$ . Ein wichtiger Unterschied ist der $\dim(A\oplus B)=\dim(A)+\dim(B)$ , während $\dim(A\otimes B)=\dim(A)\dim(B)$ . Bedauerlicherweise $2+2=2\cdot2$ , daher ist es in diesem speziellen Fall einfacher, verwirrt zu werden.
Okay, womit habe ich es hier eigentlich zu tun: einen "Tensorproduktraum" oder einen "Direktsummenraum"? Ich nehme an, es ist der Tensorproduktraum da $\mathcal{H}=\mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2$ und in diesem Fall macht es Sinn, daran zu denken $\text{dim}(\mathcal{H})=\text{dim}(\mathcal{H}_1)\text{dim}(\mathcal{H}_2)$ (aus der Analogie zum Spin-1/2-Fall mit zwei Teilchen, wo wir uns die 4 resultierenden Zustände als geordnete Paare von Spin-Ups und Spin-Downs vorstellen). Aber die direkte Summe kommt ins Bild, wenn wir an den "gesamten" Hamilton-Operator denken $H=H_1\oplus H_2$ , da möchte ich sicher gehen.

yuggib · Answer 1

Das ist ganz einfach. Betrachten Sie den Operator $H$ auf dem Hilbertraum $\mathscr{H}$ , in Ihrem einfachen Beispiel hat es eine spektrale Auflösung:

H = \sum_{N} E_{N} | N ⟩ ⟨ N | .

$H=\sum_{n}E_n \lvert n\rangle\langle n \rvert\; .$ Jeder Eigenwert hat die Multiplizität 1. Nun die Operatoren

H_{1}

$H_1$ Und

H_{2}

$H_2$ An

H \otimes H

$\mathscr{H}\otimes\mathscr{H}$ haben das gleiche Spektrum von

H

$H$ , aber jeder Eigenwert hat Multiplizität

d i m [H]

$\mathrm{dim} [\mathscr{H}]$ , und die orthonormalen Eigenvektoren sind das Tensorprodukt eines Eigenvektors von

H

$H$ und ein Vektor der orthonormalen Basis von

H

$\mathscr{H}$ (in der jeweiligen Reihenfolge). Die spektralen Auflösungen werden direkt von der vererbt

H

$H$ :

H_{1} = \sum_{N} E_{N} (| N ⟩ ⟨ N | \otimes 1), H_{2} = \sum_{N} E_{N} (1 \otimes | N ⟩ ⟨ N |) .

$H_1=\sum_{n}E_n \bigl(\lvert n\rangle\langle n \rvert\ \otimes 1\bigr)\;,\; H_2=\sum_{n}E_n \bigl(1\otimes\lvert n\rangle\langle n \rvert\ \bigr)\; .$ Wenden Sie nun die Projektion auf einen faktorisierten Vektor an

ψ_{1} \otimes ψ_{2}

$\psi_1\otimes\psi_2$ zum Beispiel auf

H_{1}

$H_1$ :

| ψ_{1} \otimes ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{1} \otimes ψ_{2} | H_{1} = \sum_{N} E_{N} ⟨ ψ_{1}, N ⟩ (| ψ_{1} ⟩ ⟨ N | \otimes | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |) .

$\lvert \psi_1\otimes\psi_2\rangle\langle \psi_1\otimes\psi_2 \rvert H_1= \sum_n E_n \langle \psi_1,n\rangle \bigl( \lvert\psi_1\rangle\langle n\rvert\otimes\lvert\psi_2\rangle\langle\psi_2\rvert \bigr)\; .$ Nun nehme das an

ψ_{1} = m

$\psi_1=m$ , Wo

m

$m$ ist ein Eigenvektor von

H

$H$ , orthogonal zu allen anderen (und normalisiert). Dann verschwinden die Skalarprodukte in der Summe davon abgesehen

n = m

$n=m$ . So erhalten Sie:

\begin{matrix} (1) & | M \otimes ψ_{2} ⟩ ⟨ M \otimes ψ_{2} | H_{1} = E_{M} | M \otimes ψ_{2} ⟩ ⟨ M \otimes ψ_{2} | . \end{matrix}

$\tag{1}\lvert m\otimes\psi_2\rangle\langle m\otimes\psi_2 \rvert H_1=E_m \lvert m\otimes\psi_2\rangle\langle m\otimes\psi_2 \rvert \; .$

Bemerkung : Beachten Sie, dass ich mehr als einmal die Tatsache verwendet habe, dass für faktorisierte Vektoren $\lvert \psi_1\otimes\psi_2\rangle\langle \psi_1\otimes\psi_2 \rvert= \lvert\psi_1\rangle\langle \psi_1\rvert\otimes\lvert\psi_2\rangle\langle\psi_2\rvert$ .

Gleichung (1) --- mit $\psi_2$ als Element der orthonormalen Basis von gewählt $\mathscr{H}$ --- ist die Beziehung der Projektoren zu den Eigenvektoren von $H_1$ Du suchst nach. Dies wird auf Funktionen von erweitert $H_1$ da für jede geeignet regelmäßige Funktion $f$ , $f(H)=\sum_{n}f(E_n) \lvert n\rangle\langle n \rvert$ .

Ich freue mich sehr über diese Antwort, danke. Es beantwortet meine Frage genau und sehr klar, mit einer schönen Begründung für jeden Schritt.

Projektionsoperatoren in einem direkten Produktraum

Lachy

Selene Rouley

Lachy

Benutzer10851

Lachy

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yuggib

Lachy

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