Verwirrung um die Interpretation von Erwartungswerten in der Quantenmechanik

Staat gegeben | ψ ⟩ man kann den Erwartungswert einer Observable bilden Ö als:

⟨ ψ | Ö | ψ ⟩ .
Im Falle Ö = H , Wo H der Hamiltonoperator des Quantensystems ist, gibt der obige Erwartungswert die erwartete Energie des Zustands an. In ähnlicher Weise kann die Quantenentwicklung eines Zustands als Landkarte geschrieben werden:
| ψ ⟩ → e − ich H T | ψ ⟩ = | ψ ~ ⟩ .
Der Erwartungswert
⟨ ψ | e − ich H T | ψ ⟩
ergibt somit die Übergangswahrscheinlichkeit von | ψ ⟩ Zu | ψ ~ ⟩ . Meine Frage ist : Wie ist die Interpretation von :
⟨ ψ | Ö e − ich H T | ψ ⟩ ?

Antworten (1)

Trotz der scheinbaren Ähnlichkeit sind Erwartungswert und Übergangswahrscheinlichkeit nicht dasselbe. Deutlicher wird es, wenn man diese Größen durch Dichteoperatoren ausdrückt ρ ^ = | ψ ⟩ ⟨ ψ | . Der Erwartungswert ist dann

⟨ Ö ^ ⟩ = ⟨ ψ | Ö ^ | ψ ⟩ = tr { Ö ^ ρ ^ } .
Die einheitliche Entwicklung des Staates wird nun durch dargestellt
ρ ^ ( T ) = U ^ ( T ) ρ ^ ( 0 ) U ^ † ( T ) ,
wo (unter Verwendung Ihrer Konvention) U ^ ( T ) = exp ⁡ ( − ich H ^ T ) . So wird die Übergangswahrscheinlichkeit
tr { ρ ^ ( 0 ) ρ ^ ( T ) } = tr { ρ ^ ( 0 ) U ^ ( T ) ρ ^ ( 0 ) U ^ † ( T ) } ,
Dies ist das Modulusquadrat der Übergangsamplitude, die Sie berechnet haben. Um den Erwartungswert für eine Observable mit dem sich entwickelnden Zustand zu berechnen, brauchen wir
tr { Ö ^ ρ ^ ( T ) } = tr { Ö ^ U ^ ( T ) ρ ^ ( 0 ) U ^ † ( T ) } .
Beachten Sie, dass dies das Schrödinger-Bild darstellt. Derselbe Ausdruck kann im Heisenberg-Bild interpretiert werden, indem man die Einheitsoperatoren in die Observable einbezieht, so dass
Ö ^ ( T ) = U ^ † ( T ) Ö ^ U ^ ( T ) .

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