Warum ergibt das Ersetzen von Bra- und Ket-Basisvektoren durch ihre Zeilen- und Spaltendarstellungen die falsche Matrixdarstellung auf einer nicht-orthogonalen Basis?

Wenn$|\phi⟩$Und$|\psi⟩$linear unabhängig sind, dann ist es immer möglich, sie den Spaltenvektoren zuzuordnen

$$|\phi⟩\mapsto\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \text{ and } |\psi⟩\mapsto\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},$$ aber wenn sie nicht orthogonal sind, müssen Sie offensichtlich härter an der Darstellung des Skalarprodukts in dieser Basis arbeiten.

Der sauberste Weg, dies zu tun, ist, wieder an die BHs zu denken$⟨\phi|$Und$⟨\psi|$als duale Basis für den dualen Raum von$\mathcal H$. Damit gehen sie über lineare Funktionale hinaus$\mathbb C^2$, dargestellt durch Zeilenvektoren

$$⟨\phi|\mapsto\left(a\,\,\,b\right) \text{ and } ⟨\psi|\mapsto\left(c\,\,\,d\right).$$ Die Koeffizienten in diesen Covektoren sind durch die Anforderung festgelegt, dass $⟨\phi|$Und $⟨\psi|$reproduzieren das alte Skalarprodukt: $$\begin{align} \left(a\,\,\,b\right)\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}&=1,\quad& \left(a\,\,\,b\right)\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}&=⟨\phi|\psi⟩, \\ \left(c\,\,\,d\right)\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}&=⟨\psi|\phi⟩,\quad& \left(c\,\,\,d\right)\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}&=1. \end{align}$$ Dies fixiert die Darstellung als $$⟨\phi|\mapsto\left(1\,\,\,⟨\phi|\psi⟩\right) \text{ and } ⟨\psi|\mapsto\left(⟨\psi|\phi⟩\,\,\,1\right).$$

Nachdem Sie dies getan haben, erhalten Sie die korrekte Darstellung für$H$:

$$H=|\phi⟩⟨\phi|+|\psi⟩⟨\psi|= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\left(1\,\,\,⟨\phi|\psi⟩\right) + \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\left(⟨\psi|\phi⟩\,\,\,1\right) = \begin{pmatrix} 1 & \langle \phi|\psi \rangle \\ \langle \psi|\phi \rangle & 1 \end{pmatrix}.$$