Warum müssen Quantenlogikgatter lineare Operatoren sein?

Warum müssen Quantenlogikgatter lineare Operatoren sein? Ich meine, ist es nur eine Folge der Postulate der Quantenmechanik?

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Angenommen, Sie wählen einen Staat aus | ψ ich ⟩ zufällig mit Wahrscheinlichkeit P ich und schicke es durch ein mit bezeichnetes Logikgatter G . Dieser Zufallszustand wird als Dichtematrix geschrieben ρ = ∑ ich P ich | ψ ich ⟩ ⟨ ψ ich | . Bezeichnen G ( | ψ ich ⟩ ⟨ ψ ich | ) als Ergebnis der Bewerbung G in einen bestimmten Zustand.

Nun, wenn die Eingabe ist | ψ ich ⟩ ⟨ ψ ich | mit Wahrscheinlichkeit P ich , dann ist die Ausgabe G ( | ψ ich ⟩ ⟨ ψ ich | ) auch mit Wahrscheinlichkeit P ich . Somit muss der Ausgangszustand sein ∑ ich P ich G ( | ψ ich ⟩ ⟨ ψ ich | ) und deshalb

G ( ρ ) = G ( ∑ ich P ich | ψ ich ⟩ ⟨ ψ ich | ) = ∑ ich P ich G ( | ψ ich ⟩ ⟨ ψ ich | ) .
Dies kann auf zufällig gemischte Eingaben erweitert werden ρ ich anstelle von | ψ ich ⟩ , was uns zu dem Schluss führt G ( ∑ ich P ich ρ ich ) = ∑ ich P ich G ( ρ ich ) , was genau die Definition von Linearität ist.

Einheitliche lineare Operatoren erhalten die Wahrscheinlichkeit. Der Verlust einer solchen Erhaltung macht Berechnungen mit der Quantenmechanik bedeutungslos.

Warum müssen Quantenlogikgatter lineare Operatoren sein?
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