Spektralsatz: Matrizen vs. Operatoren

Bedeuten sie, dass M wie oben eine Diagonaldarstellung hat und dass unter Verwendung der angegebenen Basis die Matrixdarstellung von M eine Diagonalmatrix ist?

Sie haben Ihre eigene Frage genau richtig beantwortet. Es ist auch in der Matrixdefinition impliziert: Die Diagonalmatrix der Eigenwerte ist eindeutig die Matrix des Operators im diagonalisierenden Rahmen, und die hermitesche Konjugierte der normalisierten Matrix der als Spalten geschriebenen Eigenvektoren ist die Transformation, die die Anfangskoordinaten auf die Koordinaten im diagonalisierten Rahmen abbildet .

Vielleicht wäre es hilfreich, uns einige der grundlegenden Eigenschaften orthogonaler Basen ins Gedächtnis zu rufen. Nehmen wir zu diesem Zweck die an$\{|i\rangle\}$stellt eine orthogonale Basis eines Vektorraums dar$V$. Zusätzlich zur Orthogonalitätsbedingung

$$\langle j|i\rangle=\delta_{ij} ,$$ wir haben auch die Vollständigkeitsbedingung $$\sum_i |i\rangle\langle i| = {\cal I} ,$$ was als Möglichkeit dienen kann, den Identitätsoperator aufzulösen ${\cal I}$.

Es ist wichtig zu erkennen, dass dies nicht die einzige orthogonale Basis ist, die man für diesen Vektorraum definieren kann. Tatsächlich würde jede einheitliche Operation diese Basis in eine neue Basis umwandeln,

$$U|i\rangle = |m\rangle$$ und es ist eine einfache Übung zu zeigen, dass diese neue Basis auch ähnlichen Orthogonalitäts- und Vollständigkeitsbedingungen gehorcht.

Betrachten wir nun diesen Fall eines Operators, der in unserer Anfangsbasis diagonal ist. Das bedeutet, dass wir diesen Operator schreiben können als

$$A = \sum_i |i\rangle\lambda_i\langle i| .$$ Was würde passieren, wenn wir diesen Ausdruck in die neue Basis umwandeln? $\{|m\rangle\}$?

Dazu agieren wir auf beiden Seiten$A$wobei die Identität in Bezug auf die neue Basis aufgelöst ist (die wir alternativ mit entweder bezeichnen werden$|m\rangle$oder$|n\rangle$). Schau was passiert

$$\begin{align} {\cal I}A{\cal I} &= \sum_{mni} |m\rangle\langle m|i\rangle\lambda_i\langle i|n\rangle\langle n| \\ &= \sum_{mni} |m\rangle U_{mi} \lambda_i {U^{\dagger}}_{in}\langle n| \\ &= \sum_{mn} |m\rangle B_{mn} \langle n|\,.\end{align}$$ Es ist hoffentlich klar zu sehen, dass die Matrix $$B_{mn} = \sum_i U_{mi} \lambda_i {U^{\dagger}}_{in}$$ wäre im Allgemeinen keine Diagonalmatrix. In Faktor, die rechte Seite $UDU^{\dagger}$(Wo $D$eine Diagonalmatrix darstellen) ist die spektrale Zerlegung für eine Matrix.

Dies impliziert auch, dass man, wenn man diesen Prozess umgekehrt durchführen würde, mit einer nicht diagonalen Matrix beginnen und sie dann durch eine geeignete Wahl der Basis in eine diagonale Matrix umwandeln würde. Mal sehen, wie das funktioniert. Nehmen wir an, ich bekomme eine normale Matrix$M$, ausgedrückt in irgendeiner willkürlichen Basis$\{|a\rangle\}$. (Ich verwende hier absichtlich andere Symbole, um Verwechslungen mit dem, was wir vorher hatten, zu vermeiden.) Nach dem Spektralsatz kann man dies nun ausdrücken als

$$M = U D U^{\dagger} ,$$ Wo $U$ist eine unitäre Matrix und $D$ist eine Diagonalmatrix. Beachten Sie, dass $M$ist immer noch in Bezug auf die Basis definiert $\{|a\rangle\}$in denen es nicht diagonal ist. Wir können jedoch die einheitlichen Matrizen entfernen, indem wir auf beiden Seiten wie folgt operieren $$U^{\dagger} M U = U^{\dagger} U D U^{\dagger} U = D .$$ Somit erhalten wir am Ende nur die Diagonalmatrix. Dabei haben wir die Basis, in der die Matrix ausgedrückt wird, neu definiert. Diese Umdefinition erfolgt durch die Einheitsmatrix: $|a\rangle U = |i\rangle$Und $U^{\dagger} \langle a| = \langle i|$. Daher wandelt die Einheitsmatrix, die zum Diagonalisieren der Matrix benötigt wird, auch die Basis in die spezielle um, in der die Matrix diagonal wird.

Schauen wir uns die expliziten Fragen an:

"Was bedeutet es für einen Operator, in Bezug auf eine Basis diagonal zu sein?"

Das bedeutet, dass man in dieser speziellen Basis des Operators (ausgedrückt als Matrix) nur auf der Diagonale Nicht-Null-Elemente hat und diese Elemente dann die Eigenwerte der Matrix darstellen. Alle anderen Elemente der Matrix sind Null. Der Ausdruck "in Bezug auf eine Basis" bedeutet, dass die Zeilen (und Spalten) der Matrix einem bestimmten Element in dieser Basis zugeordnet sind.

„Meinen sie das$M$hat eine Diagonaldarstellung, wie oben, und zwar unter Verwendung der angegebenen Basis die Matrixdarstellung von$M$ist eine Diagonalmatrix?"

Ja, vorausgesetzt das$M$eine normale Matrix ist, hat sie immer eine Diagonaldarstellung. (Das sagt das Spektraltheorem aus.)

„So ist die Matrixdarstellung von$A$bzgl. der Grundlage$\{|0\rangle,...,|n\rangle\}$einfach diag$\{\lambda_0,...,\lambda_n\}$?"

Nun, vorausgesetzt, diese Grundlage ist die Grundlage, in der$A$diagonal ist, dann ja, die Diagonalmatrix enthält die Eigenwerte auf der Diagonalen.