Zusammensetzung von Squeeze-Operatoren?

Question

Zusammensetzung von Squeeze-Operatoren?

Physik
Betreiber
Lügen-Algebra
Quantenmechanik
Quanteninformation
zweite Quantisierung

FraSchelle

Ich frage mich, ob es ein Zusammensetzungsgesetz für den Quetschvorgang gibt? Ich denke, aus geometrischen Gründen, da es sich (verallgemeinert, und die Phase ist natürlich ärgerlich) um hyperbolische Rotationen der Vernichtung handelt $a$ und Schöpfung $a^{\dagger}$ Operatoren einiger bosonischer Moden.

Ich definiere den Squeezing-Operator als

S (ζ) = e^{Σ}; Σ = \frac{ζ^{*} A A - ζ A^{†} A^{†}}{2}

$S\left(\zeta\right) = e^{\Sigma} \;\; ; \;\; \Sigma = \frac{\zeta^{\ast} aa -\zeta a^{\dagger}a^{\dagger}}{2}$ für jeden komplexen Parameter

ζ

$\zeta$ .

Ich würde gerne die Regel für wissen $S\left(\zeta_{1}\right)\cdot S\left(\zeta_{2}\right)$ ?

Das wissen wir zum Beispiel

D (a) \cdot D (β) = D (a + β) e^{(a β^{*} - β a^{*}) / 2}

$D\left(\alpha\right)\cdot D\left(\beta\right)=D\left(\alpha + \beta\right) e^{\left(\alpha \beta^{\ast}-\beta\alpha^{\ast} \right)/2}$ für den kohärenten / Verschiebungsoperator

D (α) = e^{Δ}

$D\left(\alpha\right)=e^{\Delta}$ mit

Δ = α^{*} a - α a^{†}

$\Delta = \alpha^{\ast} a - \alpha a^{\dagger}$ .

Eine Referenz für $S\left(\zeta_{1}\right)\cdot S\left(\zeta_{2}\right)$ würde reichen.

Antworten (2)

Zusammensetzung von Squeeze-Operatoren?

QMechaniker · Answer 1

I) OP fragt nach der Zusammensetzungsformel für sogenannte Single-Mode-Squeezing-Operatoren , siehe Gl. (8) unten. Wir werden hier die Zusammensetzungsformel (8) nicht beweisen, sondern nur teilweise Hinweise und Hinweise geben.

Der Schlüssel ist zu erkennen, dass man sich identifizieren kann

\begin{matrix} (1) & σ_{+} := - \frac{1}{2} A^{†} A^{†}, σ_{-} := \frac{1}{2} A A, σ_{3} := A^{†} A + \frac{1}{2}, \end{matrix}

$\sigma_{+}~:=~-\frac{1}{2} a^{\dagger}a^{\dagger}, \qquad \sigma_{-}~:=~\frac{1}{2} aa, \qquad\sigma_{3}~:=~a^{\dagger}a+\frac{1}{2} ,\tag{1}$

mit Generatoren von a $su(1,1)\cong so(2,1; \mathbb{R})\cong sl(2,\mathbb{R})$ Lügen-Algebra

\begin{matrix} (2) & [σ_{+}, σ_{-}] = σ_{3}, [σ_{3}, σ_{\pm}] = \pm 2 σ_{\pm} . \end{matrix}

$[\sigma_{+},\sigma_{-}]~=~\sigma_{3} , \qquad [\sigma_{3},\sigma_{\pm}]~=~\pm2 \sigma_{\pm}. \tag{2}$

Hier genügen die Einmoden-Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

\begin{matrix} (3) & [A, A^{†}] = 1. \end{matrix}

$[a,a^{\dagger}]~=~1.\tag{3}$

Der Quetschoperator

\begin{matrix} (4) & S (z) := \exp Σ (z), Σ (z) := z σ_{+} + z^{*} σ_{-}, z \in C, \end{matrix}

$S(z)~:=~\exp\Sigma(z),\qquad \Sigma(z)~:=~z\sigma_{+} + z^{\ast} \sigma_{-}, \qquad z~\in~ \mathbb{C},\tag{4}$

kann in normal geordneter Form geschrieben werden

\begin{matrix} (5) & S (z) = \exp (T σ_{+}) \exp (\ln (1 - | T |^{2}) \frac{σ_{3}}{2}) \exp (T^{*} σ_{-}), \end{matrix}

$S(z)~=~\exp\left(t\sigma_{+}\right)\exp\left(\ln(1-|t|^2)\frac{\sigma_{3}}{2}\right)\exp\left(t^{\ast}\sigma_{-}\right),\tag{5}$

vgl. zB Art.-Nr. 1 Äquiv. (1.207), oder Lit. 2 Äquiv. (2.16) und (3.4). Hier

\begin{matrix} (6) & z = R e^{ich θ} \in C, R \geq 0, θ \in R, \end{matrix}

$z~=~re^{i\theta}~\in~ \mathbb{C}, \qquad r~\geq~ 0, \qquad\theta~\in~ \mathbb{R},\tag{6}$

Und

\begin{matrix} (7) & T := e^{ich θ} Tanh (R) \in C . \end{matrix}

$t~:=~e^{i\theta}\tanh(r)~\in~ \mathbb{C}.\tag{7}$

Die Zusammensetzungsformel lautet

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} S (z_{1}) S (z_{2}) = & S (z_{3}) \exp (\ln \frac{1 + T_{1} T_{2}^{*}}{1 + T_{1}^{*} T_{2}} \frac{σ_{3}}{2}), \\ T_{3} := & \frac{T_{1} + T_{2}}{1 + T_{1}^{*} T_{2}}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} S(z_1) S(z_2)~=~&S(z_3)\exp\left( \ln\frac{1+t_1 t_2^{\ast}}{1+t_1^{\ast}t_2} \frac{\sigma_{3}}{2}\right), \cr t_3~:=~&\frac{t_1+t_2}{1+t_1^{\ast}t_2}, \end{align}\tag{8}$

vgl. zB Art.-Nr. 2 Aufgabe 3.8.

II) Die Quetschoperatoren (4) können als Elemente von angesehen werden $SL(2,\mathbb{C})$ . Wir können die Exponentialabbildung verwenden

\begin{matrix} (9) & \exp : S l (2, C) ⟶ S L (2, C) \end{matrix}

$\tag{9}\exp: sl(2,\mathbb{C}) ~\longrightarrow~ SL(2,\mathbb{C})$

auf Operatoren des Formulars verallgemeinert werden

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} X (\vec{a}) := & \exp (\vec{a} \cdot \vec{σ}) = \exp (a^{+} σ_{+} + a^{3} σ_{3} + a^{-} σ_{-}), \\ \vec{a} = & (a^{+}, a^{3}, a^{-}) \in C^{3} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} X(\vec{\alpha}) ~:=~&\exp\left( \vec{\alpha} \cdot \vec{\sigma} \right)~=~\exp\left( \alpha^{+} \sigma_{+}+\alpha^{3} \sigma_{3}+ \alpha^{-} \sigma_{-}\right),\cr \vec{\alpha}~=~&(\alpha^{+},\alpha^{3}, \alpha^{-})\in \mathbb{C}^3. \end{align}\tag{10}$

Die Zusammensetzungsformel (8) lässt sich auf die Baker-Campbell-Hausdorff(BCH)-Formel verallgemeinern

\begin{matrix} (11) & \vec{γ} = \vec{F} (\vec{a}, \vec{β}), \end{matrix}

$\vec{\gamma}~=~ \vec{f}(\vec{\alpha},\vec{\beta}), \tag{11}$

Wo

\begin{matrix} (12) & X (\vec{a}) X (\vec{β}) = X (\vec{γ}) . \end{matrix}

$X(\vec{\alpha}) X(\vec{\beta}) ~=~X(\vec{\gamma}). \tag{12}$

[Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag für die entsprechende BCH-Formel für $SU(2)$ Und $SO(3;\mathbb{R})$ .] Beachten Sie jedoch, dass die Exponentialabbildung (9) nicht surjektiv ist

\begin{matrix} (13) & ICH M (\exp) = {M \in S L (2, C) ∣ T R (M) \neq - 2} \cup {- 1} ⊊ S L (2, C), \end{matrix}

${\rm Im}(\exp) ~=~\left\{M\in SL(2,\mathbb{C}) \mid {\rm Tr}(M)\neq -2\right\} ~\cup~ \left\{-{\bf 1}\right\} \subsetneq SL(2,\mathbb{C}), \tag{13}$

was bedeutet, dass die BCH-Abbildung (12) Singularitäten hat.

Verweise:

P. Kok und BW Lovett, Einführung in die optische Quanteninformationsverarbeitung, 2010.
GS Agarwal, Quantum Optics, 2012. [Beachten Sie, dass Ref. 2 hat die entgegengesetzte Vorzeichenkonvention $z\to -z$ in Gl. (4), siehe Lit. 2. Gl. (2.14) und (3.2).]
DR Truax, Baker-Campbell-Hausdorff-Beziehungen und Einheitlichkeit von $SU(2)$ Und $SU(1,1)$ Squeeze-Operatoren, Phys. Rev. D31 (1985) 1988 .
RA Fisher, MM Nieto und VD Sandberg, Unmöglichkeit der naiven Verallgemeinerung gequetschter kohärenter Zustände, Phys. Rev. D29 (1984) 1107 ; Abschnitt III. (Huttipp: Cosmas Zachos .)

Hinweise für später: $\quad\Sigma(z) \sim\begin{pmatrix}0&z\cr z^{\ast}&0\end{pmatrix}$ ; $\quad\Sigma(z)^2\sim r^2$ ; $\quad S(z) =\exp\Sigma(z) =\cosh\Sigma(z) +\sinh\Sigma(z)$ $\sim\cosh(r) +{\rm sinhc}(r)~\Sigma(z) =\cosh(r) +\sinh(r)~\Sigma(e^{i\theta})=\begin{pmatrix}c&s\cr s^{\ast}&c\end{pmatrix}$ ; $\quad\exp\left(t\sigma_{+}\right)\sim 1+t\sigma_{+}$ ; $\quad\exp\left(\nu\sigma_{3}\right) \sim \cosh(\nu)+\sinh(\nu)~\sigma_{3}=\begin{pmatrix}e^{\nu}&0\cr 0&e^{-\nu}\end{pmatrix}$ ; $\quad\exp\left(t^{\ast}\sigma_{-}\right) \sim 1+t^{\ast}\sigma_{-}$ ;
$\quad\exp\left(t\sigma_{+}\right) \exp\left(\nu \sigma_{3}\right)\exp\left(t^{\ast}\sigma_{-}\right)$ $\sim e^{-\nu}\left(t\sigma_{+} +t^{\ast}\sigma_{-} +|t|^2\begin{pmatrix}1&0\cr 0&0\end{pmatrix}\right)+\exp\left(\nu \sigma_{3}\right)=\begin{pmatrix}e^{\nu}+|t|^2e^{-\nu}&te^{-\nu}\cr t^{\ast}e^{-\nu}& e^{-\nu}\end{pmatrix}$ ; $\quad 1-|t|^2 =e^{2\nu} =1/\cosh^2r$ ;
$\quad \exp\begin{pmatrix}a&b\cr c&-a\end{pmatrix}=\cosh d +\begin{pmatrix}a&b\cr c&-a\end{pmatrix} {\rm sinhc}d$ ; $\quad d:=\sqrt{a^2+bc}$ ; $\quad e^{-\nu}=\cosh d -a{\rm sinhc}d$ ; $\quad S(z_1)S(z_2)\sim \begin{pmatrix}c_1&s_1\cr s_1^{\ast}&c_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_2&s_2\cr s_2^{\ast}&c_2\end{pmatrix}$ ; $\quad S(z_1)\exp\left(\nu\sigma_{3}\right) \sim \begin{pmatrix}c_3&s_3\cr s_3^{\ast}&c_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{\nu}&0\cr 0&e^{-\nu}\end{pmatrix}$ ; Führt zu 4 Gl.
$\quad X(\vec{\alpha}) := \exp\left(\vec{\alpha}\cdot\vec{\sigma} \right)$ ; $\quad \vec{\alpha} \cdot \vec{\sigma} = \alpha^{+} \sigma_{+}+\alpha^{3} \sigma_{3}+ \alpha^{-} \sigma_{-}$ ; $\quad \sigma_{\pm} = \frac{\sigma_{1} \pm i \sigma_{2}}{2}$ ; $\quad \alpha^{\pm} = \alpha^{1} \mp i \alpha^{2}$ ; $\quad g_{ij} = {\rm tr}(\sigma_{i}\sigma_{j})$ ; $\quad \sigma_{i}\sigma_{j} = g_{ij}{\bf 1}_{2\times 2} + i\epsilon_{ijk}g^{k\ell}\sigma_{\ell}$ ; $\quad \epsilon_{ijk}=\sqrt{|g|}[i,j,k]$ ;
$\quad\exp\left(\alpha^{3}\sigma_{3}\right) f\left(\alpha^{\pm} \sigma_{\pm}\right) \exp\left(-\alpha^{3}\sigma_{3}\right) =f\left(e^{\pm2\alpha^{3}} \alpha^{\pm} \sigma_{\pm}\right)$ ; $\quad\exp\left(\alpha^{\pm}\sigma_{\pm}+\alpha^{3}\sigma_{3}\right) = \exp\left(E(\pm2\alpha^{3})\alpha^{\pm} \sigma_{\pm}\right)\exp\left(\alpha^{3}\sigma_{3}\right)$ ; $\quad\exp\left(\alpha^{\pm} \sigma_{\pm}\right)\exp\left(\alpha^{3}\sigma_{3}\right) =\exp\left(B(\pm2\alpha^{3})\alpha^{\pm} \sigma_{\pm}+\alpha^{3}\sigma_{3}\right)$ ;

Trimok · Answer 2

Sie werden nicht leicht eine geschlossene allgemeine Formel haben, weil erstens der Kommutator von $aa$ Und $a^+a^+$ , So $4(a^+a + 1/2)$ pendelt nicht mit $aa$ Und $a^+a^+$ , und zweitens noch schlimmer, weil dasselbe für alle höherwertigen Kommutatoren der Baker-Campbell-Hausdorff-Beziehungen passiert passiert (siehe genauer Kapitel "Zassenhaus-Formel")

Es funktioniert mit der $D\left(\alpha\right)$ weil der Kommutator von $a$ Und $a^+$ Ist $1$ , also hast du natürlich $[a, 1] = [a^+, 1] = 0$ , und die unendliche Reihe von Begriffen beginnt eine kurze endliche Liste (mit $X \sim~ a, Y ~ \sim a^+$ ):

e^{X} e^{Y} = e^{X + Y} e^{\frac{1}{2} [X, Y]}

$e^X e^Y = e^{X + Y}e^{\frac{1}{2}[X,Y]}$

Vielleicht könnten Sie zuerst den Wert Ihres Operators im Grundzustand berechnen, das heißt:

< 0 | S (ζ_{1}) \cdot S (ζ_{2}) | 0 >

$<0|S\left(\zeta_{1}\right)\cdot S\left(\zeta_{2}\right)|0>$

Danke für deine Antwort. Das liegt genau daran, dass ich mich nicht für den Erwartungswert des Grundzustands interessiere, den ich diese Frage gestellt habe. Selbst wenn er auf den Grundzustand einwirkt, hat der Squeeze-Zustand keinen tabellarischen Ausdruck: Soweit ich weiß, ist er nur eine Summe der gleichmäßigen Kraft der Erweiterung des exponentiellen Arguments. Danke noch einmal.

Zusammensetzung von Squeeze-Operatoren?

FraSchelle

Antworten (2)

QMechaniker

QMechaniker

QMechaniker

QMechaniker

QMechaniker

QMechaniker

Trimok

FraSchelle

Ableitung des Einkörper-Hamiltonoperators in QFT

Sind diese beiden unterschiedlichen Formen des Squeeze-Operators äquivalent?

Probleme beim Verständnis der Nielsen & Chuang-Übung

Wie genau ist "normales Bestellen eines Operators" definiert?

Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren

Wie führt die Nichtkommutativität von Observablen zu einer Quantenbeschleunigung beim Lösen von Algorithmen im Quantencomputing?

Projektionsoperatoren in einem direkten Produktraum

Operatoren - wie sie motiviert werden müssen, müssen linear sein ? Ist dieser Kommentar ein Hinweis? [Duplikat]

Wie verifiziert man die Nicht-Negativität einer Dichtematrix?

Warum müssen Quantenlogikgatter lineare Operatoren sein?