Wie genau ist "normales Bestellen eines Operators" definiert?

(In dieser Frage spreche ich nur von der zweiten Quantisierungsversion der normalen Reihenfolge, nicht von der CFT-Version.)

Die meisten Quellen (z. B. Wikipedia ) definieren Normalordnung sehr schnell als „Umordnung aller Leiteroperatoren, so dass alle Erzeugungsoperatoren links von allen Vernichtungsoperatoren stehen“. Diese Definition ist äußerst vage, und ich möchte sicherstellen, dass ich die tatsächliche Definition verstehe.

Wenn ich das richtig verstehe, verwenden die Leute den Ausdruck "Operator in normaler Reihenfolge", um zwei ungleiche Dinge zu bedeuten. Manchmal bedeuten sie "verwenden Sie die (Anti-) Kommutierungsbeziehungen, um den Operator so umzuschreiben, dass er normal geordnet ist (ohne den Operator selbst zu ändern)." Unter dieser (eindeutigen) Definition haben wir die normalgeordnete Form des Operators A A † Ist A † A + 1 . Wir können diese Definition verwenden, um jeden Operator in kanonische Form zu bringen (bis zu einem Vorzeichen im fermionischen Fall. Wir können diese Vorzeichenmehrdeutigkeit beheben, indem wir eine kanonische Ordnung der Single-Site-Hilbert-Räume angeben.)

Aber manchmal wird das Verb "normal-order" anders verwendet, was den Operator tatsächlich ändern kann. Ich glaube, dass diese Definition diejenige ist, die normalerweise dargestellt wird, indem der Operator mit Doppelpunkten umgeben wird. Wenn ich das richtig verstehe, ist dieses Verfahren definiert als "Verwendung der (Anti-)Vertauschungsbeziehungen [ A ich , A J ] ± = [ A ich † , A J † ] ± = 0 um alle Erstellungsoperatoren links von allen Vernichtungsoperatoren zu verschieben, während die ignoriert werden [ A ich , A J † ] ± = δ ich J (Anti-)Kommutationsbeziehung und so tun, als ob seine RHS Null wäre.

Dieses Vorgehen wirkt offensichtlich etwas willkürlich und unmotiviert. Außerdem scheint es nicht ganz klar definiert zu sein. Für Produkte von Ladder-Operatoren ist das in Ordnung, aber das Problem ist, dass unter dieser Definition die Normalordnung nicht über die Addition verteilt wird:

: A † A :   =   A † A   =   A A † − 1  
Aber
: A A † : − 1   = A † A − 1.

Es ist daher nicht klar, wie die Normalordnung für einen allgemeinen Operator definiert werden soll, dh eine allgemeine Linearkombination von Produkten von Leiteroperatoren. Ob ein Operator eine nichttriviale Summe von Produkten von Leiteroperatoren ist oder nicht, hängt natürlich davon ab, wie man ihn schreibt; wir können den gleichen Operator als äquivalent schreiben A † A (nur ein Summand) oder als A A † − 1 (mehrere Summanden).

Daraus schließe ich, dass (unter der zweiten Definition) „normales Bestellen eines Operators“ tatsächlich ein Missbrauch der Terminologie ist; Wir können nur bestimmte bestimmte Ausdrücke für einige Operatoren sinnvoll normal ordnen . Ist das richtig? Wenn nicht, wie definiert man die normale Ordnung einer Linearkombination von Produkten von Leiteroperatoren?

Beachten Sie das trotzdem A † A = A A † − 1 , haben wir nicht : A † A : = : A A † − 1 : , weil die Doppelpunkte die Reihenfolge der Operatoren im Produkt auf der rechten Seite ändern, sie aber auf der linken Seite unverändert lassen.

Antworten (4)

Eine axiomatische Definition der normalen Ordnung findet sich in dem Buch "Solitons: Differential Equations, Symmetries and Infinite Dimensional Algebra" von T. Miwa, M. Jimbo und E. Date auf den Seiten 44-46. Dies ist die beste Definition, die ich bisher gefunden habe, und lautet für Produkte bosonischer Operatoren wie folgt. Forderung A die Menge der Linearkombinationen formaler endlicher Produkte bosonischer Operatoren B ich , B ich † . Die normale Reihenfolge : A : von A ∈ A ist eine induktiv durch die Eigenschaften definierte Notation

  1. Linearität,
    : z 1 A 1 + z 2 A 2 : = z 1 : A 1 : + z 2 : A 2 : für z 1 , z 2 ∈ C Und A 1 , A 2 ∈ A
  2. : 1 : = 1 , mit 1 der Identitätsoperator in A
  3. innerhalb der Punkte alle Operatoren B ich , B ich † untereinander pendeln
  4. die Vernichtungsoperatoren können den rechten Spalten entnommen werden
    : A B ich : = : A : B ich
  5. die Erstellungsoperatoren können den linken Spalten entnommen werden
    : B ich † A : = B ich † : A :

Die Definition für fermionische Operatoren ist dieselbe mit dem einzigen Unterschied, dass die fermionischen Operatoren untereinander antikommutieren (Eigenschaft 3). Es ist wichtig zu betonen, dass Vernichtungsoperatoren normalerweise solche Operatoren sind, die einen bestimmten Vakuumzustand vernichten, daher hängt die normale Ordnung von der Wahl des Vakuums ab.

Die normale Ordnung ist eine Notation und keine Funktion, die auf Operatoren (dh einen Superoperator) wirkt. Das bedeutet, während B ich B ich † Und B ich † B ich + 1 Sind die gleichen Operatoren gemäß den kanonischen Kommutierungsbeziehungen, werden sie als unterschiedliche Elemente von dargestellt A Dies ist die Menge der linearen Kombinationen von Zeichenketten, die von erzeugt werden B ich , B ich † . Mathematisch ausgedrückt ist die normale Ordnung eine Funktion, die auf den Elementen der freien Algebra erzeugt wird B ich , B ich † , ist aber keine wohldefinierte Funktion in der CCR-Algebra (Kanonische Kommutierungsbeziehungsalgebra). Der falsche Schritt, der zum paradoxen Ergebnis führt

B ich B ich † = B ich † B ich + 1 ⇒ : B ich B ich † : = : B ich † B ich + 1 : = : B ich † B ich : + 1 = : B ich B ich † : + 1 ⇒ 0 = 1

ist eigentlich die erste Gleichstellung da B ich B ich † ≠ B ich † B ich + 1 In A . In einem anderen Beitrag wurde vorgeschlagen, dass das Normalprodukt undefiniert ist, wenn es auf lineare Kombinationen wirkt. Dies würde jedoch die Nützlichkeit der normalen Ordnung ernsthaft einschränken. Beispielsweise ist es üblich, die normale Reihenfolge unendlicher Reihen wie Exponentialzahlen zu nehmen. Die Definition als eine auf die freie Algebra wirkende Funktion A ist tatsächlich derjenige, der in der Praxis verwendet wird.

Dies ist ein gutes Beispiel dafür, dass mathematische Strenge in der Physik-Community nicht als Ärgernis angesehen werden sollte, sondern vielmehr als wichtiges Werkzeug, um Missverständnisse und Verwirrung zu vermeiden.

  1. Der wichtigste Punkt ist, dass der normale Bestellvorgang :   : nimmt nicht Operatoren zu Operatoren, sondern Symbole/Funktionen zu Operatoren. Dieser wichtige Punkt löst verschiedene Paradoxien, die durch Sprachmissbrauch entstanden sind.

  2. Das heißt, wenn A Und A ∗ bezeichnet die den Operatoren entsprechenden Symbole/Funktionen A ^ Und A ^ † , dann ist die normale Ordnung erfüllt

    : A A ∗ :   =   : A ∗ A :   =   A ^ † A ^ ,
    und so weiter.

  3. Eine vollständige Erklärung finden Sie zB in diesem Phys.SE-Beitrag und den darin enthaltenen Links.

Was meinst du mit "Symbole/Funktionen"? Wenn Sie zwei Operatoren haben A Und B , kannst du nicht schreiben : A B : ? Kann was drin ist : ⋯ : keine Operatoren enthalten?

In der Quantenmechanik mit endlich vielen Freiheitsgraden bedeutet normale Ordnung immer die Anwendung der Kommutierungsregeln, um Erzeuger links von Vernichtern zu verschieben, was zu einem eindeutigen endgültigen Ausdruck führt, der dem ursprünglichen im Sinne des Operators entspricht.

In der Quantenfeldtheorie (dh Quantenmechanik mit unendlich vielen Freiheitsgraden) ist ein solches Vorgehen normalerweise unmöglich, da es zu schlecht definierten Koeffizienten führt. Daher bedeutet normale Ordnung in der Quantenfeldtheorie immer das Permutieren von Erzeugern links von Vernichtern ohne Berücksichtigung von Kommutierungsregeln (dh nach dem klassischen Ausdruck). Allerdings wird das Vorzeichen geändert, wenn zwei fermionische Operatoren permutiert werden. Auf diese Weise machen ansonsten schlecht definierte Ausdrücke zumindest als quadratische Formen Sinn. In der Raumzeitdimension > 2 , ist eine weitere Renormalisierung erforderlich, um die Ausdrücke in wahre Operatoren umzuwandeln.

Ich glaube nicht, dass normal geordnete Ausdrücke eindeutig sind, da die Reihenfolge der Erstellungsoperatoren und die Reihenfolge der Vernichtungsoperatoren separat willkürlich sind, oder?
@tparker - ja, aber diese (Anti-)Pendeln, sodass der definierte Operator unabhängig von der verbleibenden Ordnungsmehrdeutigkeit ist. Jede Rangfolge macht es vollständig einzigartig.

Ich denke, der Weisheitskommentar von Sidney Coleman ist nützlich. (siehe seinen Vortrag 4.5 für mehr Details).

Meine Paraphrase:

„Normales Bestellprodukt“ bedeutet nicht, dass Sie zuerst Produktbetreiber herstellen und dann das Produkt „normalisieren“. Es ist eine neue Art von Produkt, dass Sie Vernichtungsoperatoren immer rechts von den Erzeugungsoperatoren stellen. Ähnlich wie beim Kreuzprodukt: Sie "kreuzen" das Produkt nicht, um ein Kreuzprodukt zu erstellen, oder?

Die Motivation für die Einführung eines solchen Produkts besteht darin, unnötige (zumindest kümmern wir uns nicht um sie in Bezug auf QFT) Unendlichkeiten nach Kommutierungsoperatoren zu beseitigen.

Damit ist die Frage nicht beantwortet. Sobald Sie über einen ausreichenden Ruf verfügen , können Sie jeden Beitrag kommentieren . Geben Sie stattdessen Antworten an, die keine Klärung durch den Fragesteller erfordern . - Aus Bewertung
@Miyase Danke für deinen Kommentar. Aber ich denke, fast die gleiche Frage wurde in Colemans Buch gestellt. Und lassen Sie mich klarer sein. Das „Norma-Order-Produkt“ ist ein neuer Produkttyp. Aus Gründen der Klarheit können wir vielleicht den Doppelpunkt durch " * " ersetzen, was meiner Meinung nach viele ungenaue Implikationen verursacht: A ∗ A † := A † A = A † ∗ A . Während A † A = A A † + 1 ist für ein normales Produkt definiert, nicht für ein "normales Auftragsprodukt". Es ist keine Operation, die man beiden Seiten der Gleichung auferlegen kann.
Mein Punkt war, Ihre Antwort enthält nicht genug Details, um nützlich zu sein, also sieht es eher wie ein Kommentar aus. Sie sollten zusätzliche Elemente hinzufügen, um Ihre Antwort so in sich geschlossen wie möglich zu machen.
@Miyase Danke. Ich habe dich verstanden. Du hast recht. Obwohl ich denke, dass mein Kommentar + die Antwort für diese Frage für meinen Standpunkt ausreichen, werde ich es schaffen, zukünftige Antworten in sich geschlossen zu machen.
Wie genau ist "normales Bestellen eines Operators" definiert?
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