Schrödinger-Entwicklung für eine Klein-Gordon-Gleichung

Das erste, was Sie erkennen sollten, ist die Tatsache, dass while$\phi$hat eine Bewegungsgleichung mit zweiten Zeitableitungen, es ist nicht die Wellenfunktion, und daher gibt es kein Problem mit QM. Das Feld ist nur ein Operator (mehr oder weniger), kein Zustand. Wenn Sie mit den Feldern auf den Vakuumzustand einwirken, erzeugen Sie die anderen Zustände, die sich mit einem aus den Operatoren wie z$\phi$selbst. Und die Operatoren entwickeln sich entsprechend der üblichen Heisenberg-Bewegungsgleichung$[H,\phi(t,x)]=-i\partial_t \phi(t,x)$(und durch Lorentz-Symmetrie,$[P_j,\phi(t,x)]=-i\partial_j \phi(t,x)$mit$P_\mu=(H,P_i)$als 4 Lorentz-Vektor). Von diesem Heisenberg-Bild können Sie zum Schrödinger-Bild wechseln, das wie in der nichtrelativistischen QM-Mechanik der Hamiltonian zur zeitlichen Entwicklung der Zustände führt.$H\rightarrow -i\partial_t$. Die Tatsache, dass die Theorie Lorentz-invariant ist, fügt nur andere (wichtige) Dinge hinzu, ändert aber nichts an dem, was QM sagt. QFT implementiert die Prinzipien der QM für ein System mit unendlich vielen Freiheitsgraden, die die Anzahl der Teilchen ändern können.

Alles sollte sehr klar werden, wenn Sie erkennen, dass der Lagrangian für ein freies Skalarboson den Hamiltonian für eine Sammlung von harmonischen Oszillatoren ergibt, einen harmonischen Oszillator für jeden Impuls$k$mit Frequenz (aka Energie)$\omega^2=k^2+m^2$. Falls ich mehr Zeit finde, werde ich dieser Antwort weitere Details hinzufügen.