Warum verwenden wir die Euler-Lagrange-Gleichung für Quantenfelder?

Ich denke, in Quantenfeldern brauchen wir die Heisenberg-Gleichung, um die Bewegungsgleichung zu erhalten, während die Euler-Lagrange-Gleichung einfach eine klassische Feldgleichung ist. Warum verwenden wir dann immer die Euler-Lagrange-Gleichung, um die Bewegungsgleichung von einer bekannten Lagrange-Funktion abzuleiten?

Wir nicht ! Ich denke, das ist ein pädagogischer Fehler vieler QFT-Lehrbücher. Gut die Hälfte dieser Bücher handelt tatsächlich ausschließlich von der klassischen Feldtheorie, an der Euler-Lagrange arbeitet. Wenn Sie glauben, ein konkretes Beispiel gesehen zu haben, in dem Euler-Lagrange auf den Quantenfall angewendet wird, sollten Sie mehr Kontext posten.
@knzhou: Warum sagst du, wir tun es nicht? Die klassischen Bewegungsgleichungen gelten als "Operatorgleichungen", dh "innerhalb des Bahnintegrals"/"innerhalb der Erwartungswerte", was ein Spezialfall einer Schwinger-Dyson-Gleichung ist.
@ACuriousMind Ich weiß davon, aber ich glaube nicht, dass das OP darüber verwirrt ist.

Antworten (1)

Es ist wichtig, zwischen der Lagrange- und der Hamilton-Formulierung zu unterscheiden.

  1. In der Lagrange-Formulierung sind die Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen die klassischen Bewegungsgleichungen, abgeleitet vom Prinzip der stationären Wirkung . In der QFT gelten die EL-Gleichungen weiterhin im Quantenmittel, vgl. die Schwinger-Dyson-Gleichungen .

  2. In der Hamiltonschen Formulierung sind die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen die Quantenversion der Hamiltonschen Gleichungen.

Warum verwenden wir die Euler-Lagrange-Gleichung für Quantenfelder?
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