Kanonischer Formalismus in Lichtkegelkoordinaten

Betrachten wir die Skalarfeldtheorie

L = 1 2 ( ∂ ϕ ) 2 − v ( ϕ ) .
Ich möchte den Hamiltonschen Formalismus in Lichtkegelkoordinaten verstehen. Ich wähle Konvention
X ± = 1 2 ( X 0 ± X 3 )
und erhalten
π ≡ ∂ L ∂ ( ∂ + ϕ ) = ∂ − ϕ
und der folgende Hamiltonoperator:
H = 1 2 ( ∇ ⊥ ϕ ) 2 + v ( ϕ ) .
Es kommt nicht darauf an π und ich bekomme Hamiltons Gleichung ∂ + ϕ = 0 , was falsch ist. Daraus ergibt sich folgende Frage: Was habe ich falsch gemacht und wie gehe ich in diesem Fall richtig vor. Natürlich ist mein letztes Ziel die Quantisierung der Theorie.

Bemerkung: Ich vermute, dass mein Problem damit zusammenhängt, dass es charakteristische Kurven dieser Theorie gibt, die die Hyperfläche berühren X + . Trotzdem hoffe ich, dass es einen Ausweg gibt.

Antworten (1)

Es gibt mindestens zwei Ansätze, die zum gleichen Ergebnis führen:

  1. Dirac-Bergmann-Analyse: Es gibt eine Nebenbedingung zweiter Klasse

    (1) χ   :=   π − ∂ − ϕ   ≈   0 ,
    was zur Dirac-Klammer (5) führt.

  2. Jackiw-Faddeev -Methode: Erinnern Sie sich daran X + Lichtkegelzeit ist, so dass die Lagrange-Dichte

    (2) L   =   ∂ − ϕ   ∂ + ϕ − H , H   :=   1 2 ( ∂ ⊥ ϕ ) 2 + v ( ϕ ) ,
    ist bereits im Erstbestellformular. Das symplektische Einformpotential lässt sich aus dem kinetischen Term in Gl. (2):
    (3) ϑ ( X + )   =   ∫ D X − D 2 X ⊥   ∂ − ϕ ( X )   D ϕ ( X ) ,
    Wo D bezeichnet die äußere Ableitung in unendlich vielen Dimensionen. Die symplektische Zweierform ist dann
    ω ( X + )   =   D ϑ ( X + )
    (4)   =   1 2 ∫ D X − D 2 X ⊥ ∫ D j − D 2 j ⊥   ( − 2 ) δ ' ( X − − j − )   δ 2 ( X ⊥ − j ⊥ )   D ϕ ( X ) ∧ D ϕ ( j ) .
    Die zeitgleiche Dirac-Klammer auf Fundamentalfeldern ist die inverse Matrix der Matrix für die symplektische Zweierform (4):
    (5) { ϕ ( X + , X − , X ⊥ ) , ϕ ( X + , j − , j ⊥ ) } D B   =   − 1 4 S G N ( X − − j − ) δ 2 ( X ⊥ − j ⊥ ) .
    Man kann die Hamilton-Gleichung überprüfen
    (6) ∂ + ϕ ( X )   ≈   { ϕ ( X ) , H ( X + ) } D B , H ( X + )   :=   ∫ D X − D 2 X ⊥   H ( X ) ,
    reproduziert die Euler-Lagrange (EL)-Gleichung.

Ich habe die "offensichtliche" Tatsache übersehen, dass mein Impuls nicht unabhängig von der Position ist und das System eingeschränkt ist. Danke.
Kanonischer Formalismus in Lichtkegelkoordinaten
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v