Hamiltonoperator für ein Pendel mit variabler Länge

Diese Frage ist dem Buch "Classical Dynamics of Particles and Systems" - Marion, Aufgabe 7.24 entnommen. Das Problem betrifft ein Pendel, das in Bewegung gesetzt wird, dessen Länge mit einer konstanten Rate variiert

$$\frac{dl}{dt} = - \alpha.$$ Der Leser wird gebeten, den Lagrange- und den Hamilton-Operator zu berechnen und die Energieerhaltung zu diskutieren. Wenn wir den Lagrange-Operator berechnen, erhalten wir: $$L = T - U = \frac{1}{2}m(\dot{l}^2 + l^2\dot{\theta}^2) + mgl\cos{\theta} = \frac{1}{2}m(\alpha^2 + l^2\dot{\theta}^2) + mgl\cos{\theta}.$$ Nun können wir die verallgemeinerten Impulse sowohl für finden $\theta$Und $l$: $$p_{\theta} = \frac{\partial L}{ \partial \dot{\theta}} = ml^2\dot{\theta}$$ $$p_{l} = \frac{\partial L}{ \partial \dot{l}} = m\dot{l} = -m\alpha.$$ Nachdem wir nun die verallgemeinerten Impulse haben, können wir den Hamilton-Operator wie folgt schreiben: $$H = \sum_i p_i\dot{q_i} - L = \frac{p_{\theta}^2}{2m l^2} + \frac{p_{l}^2}{2m}- mgl\cos{\theta}.$$ Aber laut dem Buch ist der Hamiltonian tatsächlich gleich: $$H = \sum_i p_i\dot{q_i} - L = \frac{p_{\theta}^2}{2m l^2} - \frac{p_{l}^2}{2m}- mgl\cos{\theta}.$$ Dieses Ergebnis ignoriert im Grunde den Begriff $p_l\dot{l}$. Warum?