Berechnen Sie die Legendre-Transformation für eine singuläre Lagrange-Funktion

Kurz gesagt, die Bewegungsgleichungen, die von dieser Lagrange stammen, sind

$$\frac{d}{dt}\left(\dot q_1 + \dot q_2\right) = -2kq_1^3$$ $$\frac{d}{dt}\left(\dot q_2 + \dot q_1\right) = -2kq_2^3$$

Das Dirac-Verfahren für Singular-Lagrange geht wie folgt:

Schritt 1: Berechnen Sie die verallgemeinerten Impulse wie gewohnt

$$p_1 \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot q_1} = \dot q_1+\dot q_2$$ $$p_2 \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot q_2} = \dot q_1+\dot q_2 = p_1$$

Das ist natürlich nicht umkehrbar. Wir haben eine "gute" Gleichung (Definition$p_1$in Bezug auf die verallgemeinerten Geschwindigkeiten) und eine "schlechte" Gleichung ($G\equiv p_2-p_1 = 0$, eine algebraische Beziehung zwischen den Impulsen, in der die Geschwindigkeiten nicht vorkommen).

$G=0$wird eine primäre Beschränkung des Dirac-Verfahrens genannt - eine algebraische Beziehung zwischen Impulsen und (möglicherweise) Koordinaten, in der die verallgemeinerten Geschwindigkeiten fehlen.

Schritt 2: Berechnen Sie den naiven Hamiltonoperator

Wenn wir den Hamilton-Operator wie üblich berechnen, finden wir

$$H_0 = p_1\dot q_1 + p_2 \dot q_2 - L = p_1(p_1-\dot q_2) + p_2 \dot q_2 - \frac{1}{2}p_1^2 + \frac{k}{2}(q_1^4+q_2^4)$$ $$= \frac{p_1^2}{2} + (p_2-p_1)\dot q_2 + \frac{k}{2}(q_1^4+q_2^4)$$ $$= \frac{p_1^2}{2} + \frac{k}{2}(q_1^4+q_2^4)$$

Wenn Sie die Hamilton-Gleichungen berechnen, werden Sie feststellen, dass sie nicht mit den Lagrange-Gleichungen übereinstimmen:

$$\dot p_1 = -\frac{\partial H_0}{\partial q_1} = -2kq_1^3$$ $$\dot p_2 = -\frac{\partial H_0}{\partial q_2} = -2kq_2^3$$ $$\dot q_1 = \frac{\partial H_0}{\partial p_1} = p_1$$ $$\dot q_2 = \frac{\partial H_0}{\partial p_2} = 0$$

Schritt 3: Erweitern Sie den Phasenraum und konstruieren Sie den vollständigen Hamiltonoperator

Wir erweitern nun den Phasenraum, indem wir eine neue Variable einführen$v$, und es als Poisson-Kommutierung mit den regulären Phasenraumvariablen zu definieren, d.h

$$\{v,q_i\} = \{v,p_i\} = 0$$

Durch Multiplizieren erhält man den vollständigen Hamiltonoperator$v$durch unsere primäre Einschränkung$G$und füge es hinzu$H_0$:

$$H = \frac{p_1^2}{2} + \frac{k}{2}(q_1^4+q_2^4) + v(p_2-p_1)$$ Die neuen Hamiltonschen Gleichungen sind

$$\dot p_1 = -\frac{\partial H}{\partial q_1} = -2kq_1^3$$ $$\dot p_2 = -\frac{\partial H}{\partial q_2} = -2kq_2^3$$ $$\dot q_1 = \frac{\partial H}{\partial p_1} = p_1-v$$ $$\dot q_2 = \frac{\partial H}{\partial p_2} = v$$

Schritt 4: Erhalten Sie zusätzliche algebraische Beziehungen

Weil$G$identisch Null ist, muss es so sein

$$\dot G = \dot p_2 - \dot p_1 = 0$$ $$\implies T\equiv q_2^3-q_1^3 = 0$$

Wir nennen$T$eine sekundäre Einschränkung des Dirac-Verfahrens - eine Einschränkung, die durch Differenzieren einer primären Einschränkung erhalten und dann vereinfacht wird, indem die Hamilton-Gleichungen verwendet werden, die aus dem vollständigen Hamilton-Operator erhalten wurden (obwohl in diesem Fall der naive Hamilton-Operator genauso gut getan hätte).

Schritt 5: Bestimmen$v$und eliminiere ihn aus dem vollständigen Hamiltonoperator

Durch Differenzieren der sekundären Einschränkung können wir bestimmen$v$:

$$\dot T = 3(q_1^2 \dot q_1 - q_2^2 \dot q_2) = 3(q_1^2[p_1-v] - q_2^2[v])$$ $$= 3(q_1^2 p_1 - (q_1^2+q_2^2)v) = 0$$ $$\implies v = \frac{q_1^2 p_1}{q_1^2 + q_2^2}$$

und so

$$H = \frac{p_1^2}{2} + \frac{k}{2}(q_1^4+q_2^4) + \frac{q_1^2 p_1}{q_1^2+q_2^2}(p_2-p_1)$$

Und das war's, wir sind fertig.

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Sie können bestätigen, dass dies zusammen mit den primären und sekundären Einschränkungen die richtigen Bewegungsgleichungen reproduziert:

$$\dot p_1 = -\frac{\partial H}{\partial q_1} = -2kq_1^3 - \frac{2q_1(1-q_1^2)(p_1p_2-p_1^2)}{q_1^2+q_2^2}$$ $$\dot p_2 = -2kq_2^3 +\frac{2q_2q_1^2(p_1p_2-p_1^2)}{q_1^2+q_2^2}$$ $$\dot q_1 = p_1 + \frac{q_1^2}{q_1^2+q_2^2}(p_2-2p_1)$$ $$\dot q_2 = \frac{q_1^2}{q_1^2+q_2^2} p_1$$ $$G \equiv p_2-p_1 = 0$$ $$T\equiv x_2^3-x_1^3 = 0$$

was vereinfacht zu

$$\dot p_1 = \frac{d}{dt}(\dot q_1 + \dot q_2) = -2kq_1^3 = -2kq_2^3$$

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Zusammenfassend haben singuläre Lagrange-Systeme mehrere gemeinsame Merkmale

1. Das Definieren von Gleichungen für die verallgemeinerten Impulse ergibt (einige) algebraische Gleichungen zwischen Phasenraumvariablen, die keine verallgemeinerten Geschwindigkeiten enthalten, und das System ist daher nicht invertierbar. Diese Gleichungen werden primäre Nebenbedingungen genannt , und ihre Ableitungen ergeben sekundäre Nebenbedingungen
2. Das Verfahren zum Erhalten des vollständigen Hamilton-Operators erweitert den Phasenraum und verwendet die neuen Variablen ein wenig wie Lagrange-Multiplikatoren, um die primären Einschränkungen zum naiven Hamilton-Operator hinzuzufügen
3. Zumindest einige der "Lagrange-Multiplikatoren" können aus den neuen Hamilton-Gleichungen durch Verwendung der primären und sekundären Nebenbedingungen eliminiert werden, und das resultierende Gleichungssystem (Hamilton-Gleichungen + Nebenbedingungen) reproduziert die ursprüngliche Dynamik
4. Dies wurde in diesem Beispiel nicht berücksichtigt, aber alle Multiplikatoren, die am Ende dieses Verfahrens unbestimmt bleiben, gehen als willkürliche Funktionen in die Lösungen ein, die auch nicht durch die Lagrange-Bewegungsgleichungen bestimmt worden wären.

User J. Murray hat bereits eine nette Antwort gegeben. Fassen wir hier zusammen, wie die Dirac-Bergmann-Analyse in den (möglicherweise konzeptionell einfacheren) Koordinaten ablaufen würde

$$q^{\pm}~:=~q^1\pm q^2, \qquad p_{\pm}~:=~\frac{p_1\pm p_2}{2}.$$

Der ursprüngliche Lagrange von OP lautet dann

$$L_0~=~ \frac{1}{2} (\dot{q}^+)^2 -V, \qquad V~=~ \frac{k}{16}\left((q^+)^4+(q^-)^4+6(q^+)^2(q^-)^2\right).$$

Primäre Einschränkung :

$$p_-~\approx~0.$$

Ursprünglicher Hamiltonian:

$$H_0~=~\frac{1}{2} p_+^2 +V.$$

Konsistenzprüfung:

$$0~\approx~-\dot{p}_-~\approx~\{H_0,p_-\} ~=~\frac{\partial V}{\partial q^-}~=~\frac{k}{4}q^-\left((q^-)^2+3(q^+)^2\right).$$

Sekundäre Einschränkung:

$$q^-~\approx~0.$$

Ergebnis: Hamiltonoperator:

$$H~=~\frac{1}{2} p_+^2 +\frac{k}{16}(q^+)^4~=~\frac{1}{8} (p_1+p_2)^2 +\frac{k}{16}(q^1+q^2)^4$$ mit 2 Einschränkungen zweiter Klasse : $$p_-~\approx~0~\approx~q^-.$$

Verweise:

1. M. Henneaux & C. Teitelboim, Quantisierung von Eichsystemen, 1994.