Unterschiedliche Ergebnisse für den Hamiltonoperator einer Scheibe, die auf einer schiefen Ebene rollt

Question

Unterschiedliche Ergebnisse für den Hamiltonoperator einer Scheibe, die auf einer schiefen Ebene rollt

ppmbb

$\hskip2in$

Ausgehend von einem Lagrange-Operator einer Scheibe, die auf einer schiefen Ebene herunterrollt, ohne zu rutschen, gegeben durch:

\begin{matrix} (1) & L = \frac{M}{2} {\dot{X}}^{2} + \frac{M R^{2}}{4} {\dot{θ}}^{2} + M G (X - L) Sünde (a) \end{matrix}

$\mathcal{L}=\frac{M}{2}\dot{x}^2+\frac{MR^2}{4}\dot{\theta}^2+Mg(x-L)\sin(\alpha) \tag{1}$

Wo $M$ ist die Scheibenmasse und $\alpha$ ist der Winkel der schiefen Ebene. Sein Hamiltonian in Bezug auf $x$ Schwung koordinieren $p_x$ Und $\theta$ Schwung koordinieren $p_\theta$ Ist:

\begin{matrix} (2) & H = \frac{P_{X}^{2}}{2 M} + \frac{P_{θ}^{2}}{M R^{2}} - M G (X - L) Sünde (a) \end{matrix}

$\mathcal{H}=\frac{p_x^2}{2M}+\frac{p_\theta^2}{MR^2}-Mg(x-L)\sin(\alpha) \tag{2}$

Seitdem $\dot{\theta}=\frac{\dot{x}}{R}$ , ich versuche, es nur in Bezug auf den Hamiltonian zu verstehen $x$ Schwung koordinieren $p_x$ , und bisher habe ich die folgenden zwei verschiedenen Ergebnisse:

Erste Ansatz

$P_{θ} = \frac{M R^{2}}{2} \dot{θ} = \frac{M R^{2}}{2} \frac{\dot{X}}{R}$ $p_\theta=\frac{MR^2}{2}\dot{\theta}=\frac{MR^2}{2}\frac{\dot{x}}{R}$ Wo $\dot{X} = \frac{P_{X}}{M}$ $\dot{x}=\frac{p_x}{M}$ und deshalb $∴ P_{θ} = \frac{R}{2} P_{X}$ $\therefore p_\theta=\frac{R}{2}p_x$ dann Ersetzen im Ausdruck für den Hamilton-Operator (2) ergibt: $H = \frac{3}{4 M} P_{X}^{2} - M G (X - L) Sünde (a)$ $\mathcal{H}=\frac{3}{4M}p_x^2-Mg(x-L)\sin(\alpha)$
Zweiter Ansatz

Manipulation der Lagrange-Funktion (1) durch Anwendung $\dot{\theta}=\frac{\dot{x}}{R}$ , es fuehrt zu
$L = \frac{3 M}{4} {\dot{X}}^{2} + M G (X - L) Sünde (a)$ $\mathcal{L}=\frac{3M}{4}\dot{x}^2+Mg(x-L)\sin(\alpha)$ Dann $P_{X} = \frac{\partial L}{\partial \dot{X}} = \frac{3 M}{2} \dot{X}$ $p_x=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}}=\frac{3M}{2}\dot{x}$ $\dot{X} = \frac{2}{3 M} P_{X}$ $\dot{x}=\frac{2}{3M}p_x$ Dann wird der Hamiltonoperator gegeben durch $H = P_{X} \cdot \dot{X} - L$ $\mathcal{H}=p_x\cdot\dot{x}-\mathcal{L}$ $H = P_{X} \cdot \frac{2}{3 M} P_{X} - \frac{3 M}{4} (\frac{2}{3 M} P_{X})^{2} - M G (X - L) Sünde (a)$ $\mathcal{H}=p_x\cdot\frac{2}{3M}p_x-\frac{3M}{4}\Big(\frac{2}{3M}p_x\Big)^2-Mg(x-L)\sin(\alpha)$ $H = \frac{2}{3 M} P_{X}^{2} - \frac{3 M}{4} (\frac{4}{9 M^{2}} P_{X}^{2}) - M G (X - L) Sünde (a)$ $\mathcal{H}=\frac{2}{3M}p_x^2-\frac{3M}{4}\Big(\frac{4}{9M^2}p_x^2\Big)-Mg(x-L)\sin(\alpha)$ $H = \frac{2}{3 M} P_{X}^{2} - \frac{1}{3 M} P_{X}^{2} - M G (X - L) Sünde (a)$ $\mathcal{H}=\frac{2}{3M}p_x^2-\frac{1}{3M}p_x^2-Mg(x-L)\sin(\alpha)$ $H = \frac{1}{3 M} P_{X}^{2} - M G (X - L) Sünde (a)$ $\mathcal{H}=\frac{1}{3M}p_x^2-Mg(x-L)\sin(\alpha)$ Dies ist ein anderes Ergebnis als das im ersten Ansatz erhaltene.

Die Frage ist also, welche die richtige ist und warum die falsche falsch ist.

Ich möchte nicht "ich denke" sagen, aber ich denke , das erste ist das richtige, da die erhaltene Gesamtenergie etwas größer ist als die im zweiten Ergebnis erhaltene, was für mich keinen Sinn ergibt, dass die Gesamtenergie erhalten wurde reduziert

Eli

Der zweite Ansatz ist richtig. Ersatz

\dot{x} = \frac{2}{3} \frac{p_{x}}{M}

$\dot{x}=\frac{2}{3}\frac{p_x}{M}$ nach Lagrange ergibt sich H=L, also ist H die Gesamtenergie

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Unterschiedliche Ergebnisse für den Hamiltonoperator einer Scheibe, die auf einer schiefen Ebene rollt

Der zweite Ansatz ist richtig. Ersatz $\dot{x}=\frac{2}{3}\frac{p_x}{M}$ nach Lagrange ergibt sich H=L, also ist H die Gesamtenergie

QMechaniker · Answer 1

OP erwägt einen eingeschränkten Lagrange-Operator der Form
$\begin{matrix} (A) & L (X, θ; \dot{X}, \dot{θ}; λ) = \frac{M}{2} {\dot{X}}^{2} + \frac{ICH}{2} {\dot{θ}}^{2} - v (X) - λ (X - R θ) . \end{matrix}$ $L(x,\theta;\dot{x},\dot{\theta};\lambda)~=~\frac{M}{2}\dot{x}^2+\frac{I}{2}\dot{\theta}^2 - V(x) -\lambda(x-R\theta). \tag{A}$ Die "reduzierte" Lagrange-Gleichung lautet $\begin{matrix} (B) & (M + \frac{ICH}{R^{2}}) \ddot{X} \approx - v^{'} (X) . \end{matrix}$ $\left(M+\frac{I}{R^2} \right)\ddot{x}~\approx~-V^{\prime}(x). \tag{B}$
Der zweite "reduzierte" Ansatz von OP ist richtig:
$\begin{matrix} (C) & H_{R} (X, P_{X}) = \frac{P_{X}^{2}}{2 (M + ICH / R^{2})} + v (X) . \end{matrix}$ $H_R(x,p_x)~=~\frac{p_x^2}{2(M+I/R^2)}+V(x). \tag{C}$
Das Problem mit dem ersten Ansatz von OP besteht darin, dass die Einschränkung nicht richtig berücksichtigt wird
$\begin{matrix} (D) & X - R θ \approx C Ö N S T, \end{matrix}$ $x-R\theta~\approx~{\rm const},\tag{D}$ und seine Folge $\begin{matrix} (E) & \dot{X} - R \dot{θ} \approx 0. \end{matrix}$ $\dot{x}-R\dot{\theta}~\approx~0.\tag{E}$ Gl. (E) bedeutet, dass die Legendre-Transformation singulär wird, wenn man versucht, beide Variablen beizubehalten $x$ Und $\theta$ . Dies kann über das Dirac-Bergmann-Verfahren für eingeschränkte Systeme erfolgen. Das Ergebnis ist $\begin{matrix} (F) & \begin{aligned} H (X, θ; P_{X}, P_{θ}; λ, μ) & = \frac{P_{X}^{2}}{2 M} + \frac{P_{θ}^{2}}{2 ICH} + v (X) + λ (X - R θ) + μ (P_{θ} - \frac{ICH}{M R} P_{X}) \\ \approx & \frac{P_{X}^{2}}{2 M} (1 + \frac{ICH}{M R^{2}}) + v (X) + λ (X - R θ) + μ (P_{θ} - \frac{ICH}{M R} P_{X}) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} H(x,\theta; p_x, p_{\theta};\lambda,\mu) &~=~ \frac{p_x^2}{2M} + \frac{p_\theta^2}{2I}+V(x) + \lambda(x-R\theta)+ \mu(p_{\theta}-\frac{I}{MR}p_x)\cr ~\approx~& \frac{p_x^2}{2M} \left(1+\frac{I}{MR^2} \right)+V(x) + \lambda(x-R\theta)+ \mu(p_{\theta}-\frac{I}{MR}p_x). \end{align}\tag{F}$ Die beiden Zwangsbedingungen sind 2. Klasse . Man kann überprüfen, ob der entsprechende Hamiltonian Lagrangeian $\begin{matrix} (G) & \begin{aligned} L_{H} (X, θ; P_{X}, P_{θ}; λ, μ) := & P_{X} \dot{X} + P_{θ} \dot{θ} - H (X, θ; P_{X}, P_{θ}; λ, μ) \\ \overset{P_{X}, P_{θ}, μ}{⟶} & L (X, θ; \dot{X}, \dot{θ}; λ) \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}L_H(x,\theta; p_x, p_{\theta};\lambda,\mu)~:=~&p_x\dot{x}+p_{\theta}\dot{\theta}-H(x,\theta; p_x, p_{\theta};\lambda,\mu)\cr \quad\stackrel{p_x,p_{\theta},\mu}{\longrightarrow}&\quad L(x,\theta;\dot{x},\dot{\theta};\lambda)\end{align}\tag{G}$ wird zum ursprünglichen Lagrange-Operator, wenn wir die Variablen herausintegrieren/eliminieren $p_x,p_{\theta},\mu$ . Oder man kann direkt überprüfen, ob die Hamilton-Gleichungen zu Lagrange-Gleichungen werden, wenn wir die Variablen eliminieren $p_x,p_{\theta},\mu$ .

Danke für deine Antwort, aber würdest du das etwas weiter ausführen? Ich habe ein bisschen Mühe, Ihren Standpunkt zu verstehen.

Unterschiedliche Ergebnisse für den Hamiltonoperator einer Scheibe, die auf einer schiefen Ebene rollt

ppmbb

Eli

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ppmbb

QMechaniker

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