Hamiltonsche Systeme ohne entsprechendes Lagrange-System

Question

Hamiltonsche Systeme ohne entsprechendes Lagrange-System

Ben C

Ich habe mit einem Hamiltonschen Modell für die Ausbreitung von Photonen herumgespielt:

\begin{matrix} (1) & H = C \sqrt{P \cdot P} + v (Q) \end{matrix}

$H = c \sqrt{p \cdot p} + V(q) \tag{1}$

was einen sinnvollen Satz von Bewegungsgleichungen ergibt,

\begin{matrix} (2) & {\dot{Q}}_{ich} = C \frac{P_{ich}}{\sqrt{P \cdot P}} {\dot{P}}_{ich} = - \frac{\partial v (Q)}{\partial Q_{ich}} . \end{matrix}

$\dot{q}_i = c \frac{p_i}{\sqrt{p \cdot p}} \quad \quad \dot{p}_i = - \frac{\partial V(q)}{\partial q_i}. \tag{2}$

Beachte das

\begin{matrix} (3) & \dot{Q} \cdot \dot{Q} = C^{2} \end{matrix}

$\dot{q} \cdot \dot{q} = c^2\tag{3}$ immer, weshalb ich dies als Modellierung der Ausbreitung eines masselosen Teilchens betrachtete.

Dieser Hamiltonoperator hat jedoch die folgende seltsame Eigenschaft. Wenn wir eine Legendre-Transformation durchführen, um eine zugehörige Lagrange-Funktion zu finden,

\begin{matrix} (4) & L = P \cdot \dot{Q} - H = C \frac{P \cdot P}{\sqrt{P \cdot P}} - (C \sqrt{P \cdot P} + v (Q)) = - v (Q) \end{matrix}

$\mathcal{L} = p \cdot \dot{q} - H = c \frac{p \cdot p}{\sqrt{p \cdot p}} - \left( c \sqrt{p \cdot p} + V(q) \right) = - V(q) \tag{4}$ was da nicht dynamisch ist

\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} = 0$ .

Ein ähnliches Problem ergibt sich, wenn ich ein duales Lagrange-System in Betracht ziehe $q, \dot{q}$ Variablen und versuchen, eine Hamilton-Transformation durch Legendre-Transformation zu finden:

\begin{matrix} (5) & L = C \sqrt{\dot{Q} \cdot \dot{Q}} - v (Q) \end{matrix}

$\mathcal{L} = c \sqrt{\dot{q} \cdot \dot{q}} - V(q) \tag{5}$ dann erhalten wir wohldefinierte Euler-Lagrange-Gleichungen:

\begin{matrix} (6) & \frac{D}{D T} (C \frac{{\dot{Q}}_{ich}}{\sqrt{{\dot{Q}}_{ich} \cdot {\dot{Q}}_{ich}}}) = - \frac{\partial v (Q)}{\partial Q_{ich}} \end{matrix}

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( c \frac{\dot{q}_i}{\sqrt{\dot{q}_i \cdot \dot{q}_i}} \right) = - \frac{\partial V(q)}{\partial q_i}\tag{6}$ was wird:

\begin{matrix} (7) & (\dot{Q} \cdot \dot{Q}) {\ddot{Q}}_{ich} - (\dot{Q} \cdot \ddot{Q}) {\dot{Q}}_{ich} + (\dot{Q} \cdot \dot{Q})^{3 / 2} \frac{\partial v (Q)}{\partial Q_{ich}} = 0. \end{matrix}

$(\dot{q} \cdot \dot{q}) \ddot{q}_i - (\dot{q} \cdot \ddot{q}) \dot{q}_i + (\dot{q} \cdot \dot{q})^{3/2} \frac{\partial V(q)}{\partial q_i} = 0.\tag{7}$ Wenn wir jedoch versuchen, einen zugehörigen Hamilton-Operator zu finden,

\begin{matrix} (8) & H = P \cdot \dot{Q} - L = C \frac{\dot{Q} \cdot \dot{Q}}{\sqrt{\dot{Q} \cdot \dot{Q}}} - (C \sqrt{\dot{Q} \cdot \dot{Q}} - v (Q)) = v (Q) \end{matrix}

$H = p \cdot \dot{q} - \mathcal{L} = c \frac{\dot{q} \cdot \dot{q}}{\sqrt{\dot{q} \cdot \dot{q}}} - \left( c \sqrt{\dot{q} \cdot \dot{q}} - V(q) \right) = V(q) \tag{8}$ was wiederum nicht dynamisch ist.

Was geht hier vor sich? Gibt es einen interessanten Grund, warum diese Systeme Lagrange/Hamiltonsche Beschreibungen nicht zulassen sollten? Wann sollte ich im Allgemeinen erwarten, dass die Legendre-Transformation mir ein gut erzogenes System gibt, das die Physik reproduziert, mit der ich begonnen habe?

JG

Es kann damit zusammenhängen , da die Impulsabhängigkeit linear ist.

Chirale Anomalie

Verwandt: Der Hamiltonoperator für relativistische freie Teilchen ist Null

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Es kann damit zusammenhängen , da die Impulsabhängigkeit linear ist.
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QMechaniker · Answer 1

Der Lagrange-Operator kann direkt konstruiert werden, indem eine Dirac-Bergmann-Einschränkungsanalyse des Hamilton-Operators (1) von OP durchgeführt wird. In Gl. (3) OP hat die primäre Einschränkung bereits korrekt identifiziert $^1$
$\begin{matrix} (A) & {\dot{X}}^{2} := G_{μ v} (X) {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v} \approx 0, {\dot{X}}^{μ} := \frac{D X^{μ}}{D τ}, \end{matrix}$ $\dot{x}^2~:=~g_{\mu\nu}(x)~ \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}~\approx ~0, \qquad \dot{x}^{\mu}~:=~\frac{dx^{\mu}}{d\tau}, \tag{A}$ Wo $\tau$ ist der Parameter der Weltlinie (WL) (der nicht die Eigenzeit sein muss).
Die Lagrangedichte wird zur masselosen Grenze von $^2$
$\begin{matrix} (B) & L = λ {\dot{X}}^{2} - \frac{M^{2}}{4 λ} - v, \end{matrix}$ $L~=~\lambda \dot{x}^2-\frac{m^2}{4\lambda} - V,\tag{B}$ Wo $\lambda(\tau)$ ein Lagrange-Multiplikator ist , vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.
Das Momentum für den Lagrange ist
$\begin{matrix} (C) & P_{μ} := \frac{\partial L}{\partial {\dot{X}}^{μ}} = 2 λ G_{μ v} (X) {\dot{X}}^{v}, \end{matrix}$ $p_{\mu}~:=~\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}~=~2\lambda g_{\mu\nu}(x)~\dot{x}^{\nu}, \tag{C}$ so dass der entsprechende Hamiltonoperator ist $\begin{matrix} (D) & H = \frac{P^{2} + M^{2}}{4 λ} + v . \end{matrix}$ $H~=~\frac{p^2+m^2}{4\lambda} + V. \tag{D}$
Daher wird der Hamiltonian Lagrangeian
$\begin{matrix} (E) & L_{H} := P_{μ} {\dot{X}}^{μ} - H . \end{matrix}$ $L_H~:=~ p_{\mu} \dot{x}^{\mu} - H. \tag{E}$
Kommen wir nun zum statischen Messgerät $x^0=\tau$ . Wenn wir uns integrieren $p^0$ Und $\lambda$ , wir bekommen $^3$
$\begin{matrix} (F) & \begin{aligned} {L_{H} |}_{X^{0} = τ} \overset{P^{0}}{⟶} & P \cdot \dot{X} - \underset{Hamiltonian}{\underset{⏟}{(λ + \frac{P^{2} + M^{2}}{4 λ} + v)}} \\ \overset{λ}{⟶} & P \cdot \dot{X} - \underset{Hamiltonian}{\underset{⏟}{(\sqrt{P^{2} + M^{2}} + v)}} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \left. L_H\right|_{x^0=\tau} \quad\stackrel{p^0}{\longrightarrow}&\quad {\bf p}\cdot \dot{\bf x}- \underbrace{\left(\lambda + \frac{{\bf p}^2+m^2}{4\lambda} + V\right)}_{\text{Hamiltonian}}\cr\cr \quad\stackrel{\lambda}{\longrightarrow}&\quad {\bf p}\cdot \dot{\bf x} - \underbrace{\left(\sqrt{{\bf p}^2+m^2}+V\right)}_{\text{Hamiltonian}} .\end{align}\tag{F}$
Wenn wir die Masse setzen $m\to 0$ dann wird der Quadratwurzel-Hamilton-Operator (F) genau zum Hamilton-Operator (1) von OP. Dies bestätigt unsere Behauptung, dass der masselose Grenzwert von Gl. (B) ist der gesuchte Lagrange von OP.

--

$^1$ Lassen Sie uns in Einheiten arbeiten, in denen die Lichtgeschwindigkeit ist $c=1$ und mit Minkowski-Zeichenkonvention $(-,+,+,+)$ .

$^2$ Der Massenterm in Gl. (B) ist der Allgemeinheit halber enthalten und nicht wesentlich. Das einzig etwas seltsame ist, dass wir das einschränken $\lambda$ Zielraum aus $\mathbb{R}$ Zu $\mathbb{R}_+$ . Dieser letzte Punkt wird auch in meiner Phys.SE-Antwort hier diskutiert .

$^3$ Ein ähnliches Argument wurde in Gl. (3) meiner Phys.SE-Antwort hier , wo der Lagrange-Multiplikator $\lambda=\frac{1}{2e}$ wird durch ein einbein-Feld ersetzt $e$ .

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Ben C

JG

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QMechaniker

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