Die Legendre-Transformation mathematisch motivieren

Question

Die Legendre-Transformation mathematisch motivieren

bolbteppa

Beginnen wir mit einer Funktion der Form

J [j] = \int_{A}^{B} F (X, j, j^{'}) D X

$J[y] = \int_a^b f(x,y,y')dx$

und finden Sie seine Euler-Lagrange-Gleichungen

\frac{\partial F}{\partial j} - \frac{D}{D X} \frac{\partial F}{\partial j^{'}} = 0 = \frac{D}{D X} \frac{\partial F}{\partial j^{'}} - \frac{\partial F}{\partial j} .

$\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'} = 0 = \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y}.$

Am Ende habe ich eine ODE zweiter Ordnung

\frac{D}{D X} \frac{\partial F}{\partial j^{'}} - \frac{\partial F}{\partial j} = (\frac{\partial^{2} F}{\partial j^{'} \partial j^{'}}) \frac{D^{2} j}{D X^{2}} + (\frac{\partial^{2} F}{\partial j \partial j^{'}}) \frac{D j}{D X} + \frac{\partial^{2} F}{\partial X \partial j^{'}} - \frac{\partial F}{\partial j} = 0

$\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} = \left( \frac{\partial ^2 f}{\partial y' \partial y'} \right) \frac{d^2 y}{dx^2} + \left(\frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial y'}\right) \frac{dy}{dx} + \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} = 0$

Nun kann jede ODE höherer Ordnung in ein System von ODEs erster Ordnung zerlegt werden $y$ und die Ableitung $M = \frac{dy}{dx}$ , geben

\frac{D}{D X} \frac{\partial F}{\partial j^{'}} - \frac{\partial F}{\partial j} = (\frac{\partial^{2} F}{\partial j^{'} \partial j^{'}}) \frac{D M}{D X} + (\frac{\partial^{2} F}{\partial j \partial j^{'}}) M + \frac{\partial^{2} F}{\partial X \partial j^{'}} - \frac{\partial F}{\partial j} = 0.

$\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} = \left( \frac{\partial ^2 f}{\partial y' \partial y'} \right) \frac{d M}{dx} + \left(\frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial y'}\right)M + \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} = 0.$

Aus dieser Perspektive sind die Hamilton-Gleichungen

{\begin{matrix} \frac{D j}{D X} = \frac{\partial H}{\partial P} \\ \frac{D P}{D X} = - \frac{\partial H}{\partial j} \end{matrix}

$\left\{ \begin{array} & \frac{dy}{dx} = \phantom{-}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}\\ \frac{d p}{dx} = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial y} \end{array}\right.$

sind lediglich ein System von Gleichungen erster Ordnung, wodurch mein obiges System von ODEs erster Ordnung nach einer geeigneten Änderung der Variablen symmetrischer aussieht.

Meine Frage ist, betrachten

\frac{D}{D X} \frac{\partial F}{\partial j^{'}} - \frac{\partial F}{\partial j} = (\frac{\partial^{2} F}{\partial j^{'} \partial j^{'}}) \frac{D^{2} j}{D X^{2}} + (\frac{\partial^{2} F}{\partial j \partial j^{'}}) \frac{D j}{D X} + \frac{\partial^{2} F}{\partial X \partial j^{'}} - \frac{\partial F}{\partial j} = 0

$\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} = \left( \frac{\partial ^2 f}{\partial y' \partial y'} \right) \frac{d^2 y}{dx^2} + \left(\frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial y'}\right) \frac{dy}{dx} + \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} = 0$

Es sollte möglich sein, zu sehen, warum die Legendre-Transformation entsteht, erstens, weil es eine Transformation ist, die Ableitungen verwendet, um Variablen zu ändern, aber auch, weil sie nur einige Terme in dieser Ode zweiter Ordnung auf Null gehen lassen sollte, damit alles schöner aussieht, aber wie sehen Sie das explizit?

Es wäre toll, wenn Sie meine Notation verwenden könnten, dh. $J[y]$ etc... wie ihr seht hab ich mich reingeschlichen $\mathcal{H}$ oben, was eigentlich nicht da sein sollte, ich würde gerne sehen, wie das in meiner Notation zustande kommt - danke!

QMechaniker

Mehr zur Legendre-Transformation: physical.stackexchange.com/q/4384/2451 und Links darin.

QMechaniker

Crossposted an math.stackexchange.com/q/476627/11127

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Die Legendre-Transformation mathematisch motivieren

Mehr zur Legendre-Transformation: physical.stackexchange.com/q/4384/2451 und Links darin.

Emilio Pisanty · Answer 1

Wenn ich Ihre Frage richtig verstehe, fragen Sie nach einer recht flüchtigen Sicht auf die Legendre-Transformation, die eine viel elegantere Art ist, ein System von ODEs in ODEs erster Ordnung umzuwandeln, als auf diese Weise sichtbar sein kann. Ich würde Ihnen empfehlen, einen Blick auf V. Arnolds Mathematische Methoden der klassischen Mechanik zu werfen, um zu sehen, wie die Legendre-Transformation wirklich funktioniert und warum wir sie verwenden.

Sie missverstehen die Transformation in die Momentum-Variable, die als definiert ist

\begin{matrix} (1) & P = \frac{\partial F}{\partial j^{'}} \end{matrix}

$p=\frac{\partial f}{\partial y'}\tag{1}$ und nicht direkt proportional zu

y^{'}

$y'$ . Die beiden sind nur in dem begrenzten Umstand verhältnismäßig, dass

f = \frac{1}{2} m (y^{'})^{2} - V (y)

$f=\frac 12 m(y')^2-V(y)$ , und die Beziehung ist im Allgemeinen komplizierter. Das einzige, was Sie brauchen, ist, dass (1) eine richtige Koordinatentransformation ist, was bedeutet, dass Sie nach dem Hessischen fragen müssen

\frac{\partial^{2} F}{\partial j^{'} \partial j^{'}}

$\frac{\partial^2 f}{\partial y'\partial y'}$ nichtsingulär und positiv bestimmt sein; Daraus wird deutlich, dass die funktionale Abhängigkeit von

p

$p$ An

y^{'}

$y'$ Und

y

$y$ kann in der Tat sehr allgemein sein.

Wenn Sie also nur sehen möchten, wie dies die Notation bereinigt, sind Sie viel besser dran, wenn Sie die ursprüngliche Euler-Lagrange-Gleichung nicht zerlegen.

\begin{matrix} (2) & \frac{D}{D X} \frac{\partial F}{\partial j^{'}} - \frac{\partial F}{\partial j} = 0, \end{matrix}

$\frac d{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}-\frac{\partial f}{\partial y}=0\tag{2},$ was sich in Hamilton-Gleichungen verwandelt

{\begin{matrix} \frac{\partial F}{\partial j^{'}} = P, \\ \frac{D P}{D X} = \frac{\partial F}{\partial j}, \end{matrix}

$\left\{\begin{array} & \frac{\partial f}{\partial y'}=p,\\ \frac{d p}{dx}=\frac{\partial f}{\partial y}, \end{array}\right.$ einfach durch Einsetzen der richtigen Definition (1) und entweder Umkehren der ersten Gleichung, um zu erhalten

\frac{d y}{d x}

$\frac{dy}{dx}$ bezüglich

p

$p$ Und

y

$y$ , oder einfach erkennen, dass es Teil eines Systems von zwei ODEs erster Ordnung in ist

y

$y$ Und

p

$p$ .

Danke für die Einsicht, aber ich hatte gehofft, dass wir durch die Zerstückelung der EL-Gleichungen sehen würden, dass einige Terme verschwinden oder so, wenn wir eine bestimmte Änderung der Variablen vornehmen. Ich habe Gelfands Variationskalkül gelesen und eine der vielen Motivationen, die er angibt, ist, dass wir einfach das System erster Ordnung, das sich aus dieser Zerstückelung ergibt, symmetrischer aussehen lassen wollen, und ich hatte gehofft, dass dies offensichtlich sein sollte, wenn Sie sich die Ode zweiter Ordnung ansehen , aber auch nach dem Ersetzen Ihrer $p = \frac{\partial f}{\partial y'}$ es sieht in diesem zusammenhang noch willkürlich aus, ich hatte gehofft das der LT eben benötigt würde
springen Sie entweder aus der Zerstückelung heraus oder was passiert, nachdem Sie es in ein System von Oden erster Ordnung zerlegt haben. Ist die Notwendigkeit des LT aus dieser Perspektive wirklich nicht zu erkennen? Es scheint so zu sein, da die LT eine Transformation mit Derivaten ist und in unserer ODE zweiter Ordnung versuchen wir im Grunde, Derivate zu eliminieren, um die Dinge symmetrischer aussehen zu lassen. Wenn Ihnen etwas einfällt oder Sie etwas bemerken, würde ich es wirklich zu schätzen wissen.
Ich denke, es " springt " aus der ursprünglichen EL-Gleichung heraus. Sie möchten Variablen in einige ändern $p=p(y,y')$ wodurch Gleichung (2) erster Ordnung entsteht $p$ ? Dann ist die einfachste Wahl, was auch immer drin ist $\frac{d}{dx}\left[\cdots\right]$ . Alles, was Sie dann tun müssen, ist zu beweisen, dass Ihre Definition eine zweite ODE erster Ordnung ergibt. Wenn Sie sie symmetrisch machen möchten, müssen Sie invertieren $\partial f/\partial y'$ , aber ich denke, das ist ein kleiner Preis, den Sie zahlen müssen, sobald Sie Ihre Gleichung haben $p'$ .

Nick Boshaft · Answer 2

Erster kleiner Kommentar zu Emilios hilfreicher Antwort. In seiner Gleichung (2) ist klar, dass "f" die Lagrange-Funktion ist, die normalerweise "L" genannt wird. Das Interessante ist, dass Emilio in Emilios Entdeckung von "Hamiltons Gleichungen" diese in Form von "f" findet, also a) das bedeutet, dass L Hamiltons Gleichungen erfüllt, wenn ich mich nicht irre. b) Dies wurde ohne Verwendung der vollständigen Legendre-Transformation durchgeführt. Insbesondere wurde der Legendre-Begriff "p * x" nicht angewendet.

Nun zur ursprünglichen Frage, wie und warum die Legendre-Transformation entsteht (beim Übergang von der Lagrange-Mechanik zur Hamilton-Mechanik. i) Qmechanic hat einen Grund angegeben, dh so dass eine "ODE höherer Ordnung in ein System von ODEs erster Ordnung zerlegt werden kann". . Es scheint hoffnungsvoll, dass die Gleichungen erster Ordnung leichter gelöst werden könnten. ii) Für mich ist der zweitwichtigste Grund nicht in den Lagrange-Gleichungen zu finden, sondern in der Legendre-Transformation selbst. Nach meiner Erfahrung werden Transformationen, z. B. Fourier oder Laplace, verwendet, um zu einer anderen Form zu gelangen, in der sie gelöst werden können, aber dann "will" diese Lösung zurück in den ursprünglichen Satz von Variablen transformiert werden, um interpretiert und verwendet zu werden. Wir möchten also die Transformation von einer Gleichung zweiter Ordnung in (x,dx/dt) in ein Paar Gleichungen erster Ordnung in (x, p) reversibel sein. Sehen Sie sich nun die Definition der Legendre-Transformation an: H(x,p) = px - L(p,x) (IV) unter Verwendung von Gl. (1) auf einfache Weise, um L in Bezug auf verschiedene Variablennamen neu zu formulieren. Auf die gleiche Weise können wir die Variablen in H umbenennen und (IV) neu anordnen, um zu erhalten: L(x, dx/dt) = p x - H(x,dx/dt) (V) Voila! Wir haben die inverse Legendre-Transformation.

Wenn Sie noch nicht ausreichend motiviert sind, erreichen Sie die Hamiltonsche Form, es gibt andere Symmetrien und Vorteile. Siehe https://www2.ph.ed.ac.uk/~mevans/sp/LT070902.pdf

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