Wie formuliert man Variationsprinzipien (Lagrange/Hamilton) für nichtlineare, dissipative oder Anfangswertprobleme?

Obwohl diese Frage sehr stark mit Mathematik zu tun hat, habe ich sie in Physik gepostet, da sie sich auf Variationsprinzipien (Lagrange/Hamilton) für dynamische Systeme bezieht. Wenn ich dies woanders migrieren sollte, sagen Sie es mir bitte.

In Graduierten- und Grundstudiengängen wird uns oft gesagt, dass wir den Lagrange- (und den Hamilton-Operator) nur für "potenzielle" Systeme formulieren können, bei denen in der Dynamik die Bedingung erfüllt ist, dass:

M X ¨ = − ∇ v
Wenn dies zutrifft, können wir ein bezüglich des Systems stationäres Funktional formulieren als:
F [ X ] = ∫ 0 T ( 1 2 M X ˙ ( τ ) 2 − v ( X ( τ ) ) ) D τ

Die erste Variation dieser Funktion ergibt die Dynamik des Systems zusammen mit einer Bedingung, die effektiv besagt, dass die Anfangskonfiguration der Endkonfiguration ähnlich sein sollte (Variation an den Grenzen ist Null).

Nun, gegeben die Funktion:

F [ X ] = 1 2 [ X T ∗ D ( X ) ] + 1 2 [ X T ∗ A X ] − 1 2 X ' ( 0 ) X ( T )
Mit A symmetrisch u X ( 0 ) die Anfangsbedingung ist, und:
[ F T ∗ G ] = ∫ 0 T F T ( T − τ ) G ( τ ) D τ

Wenn wir die erste Variation nehmen und nur annehmen , dass die Anfangsvariation Null ist, ist das Funktional stationär in Bezug auf:

D X ( T ) D T = A X ( T )

Dies ist ein von Tonti und Gurtin abgeleitetes Funktional, es stellt ein Variationsprinzip für lineare Anfangswertprobleme mit symmetrischen Zustandsmatrizen dar und zeigt als Machbarkeitsnachweis, dass Funktionale für nicht-potentielle Systeme, Anfangswert oder dissipative Systeme abgeleitet werden können .

Meine Frage ist, ist es möglich, diese Funktionale für beliebige nichtlineare Systeme abzuleiten, die keine ähnlichen Anfangs- und Endkonfigurationen haben (und aufgrund von Dissipation keine ähnlichen Anfangs- und Endkonfigurationen haben können)?

Welche Art von Bedingungen würden für die Dynamik dieser Systeme bestehen?

In diesem Beispiel A muss symmetrisch sein, was bereits impliziert, dass alle seine Eigenwerte real sind und es sich somit um ein nicht-potentielles System handelt, aber es gibt immer noch eine Funktion, die dafür abgeleitet werden kann.

Alle verwandten Quellen, Informationen oder Antworten zu bestimmten Fällen wären willkommen. Wenn jemand eine Klärung oder einen Beweis für ein Ergebnis benötigt, das ich hier vorgestellt habe, lassen Sie es mich wissen.

Bearbeiten : Auch eine verwandte Frage, die jeder sieht: Ich interessiere mich derzeit nur für den abstrakten Aspekt des Problems (es zu lösen/untersuchen), aber warum sind funktionale Darstellungen wie diese nützlich? Ich weiß, dass es einige numerische Anwendungen gibt, aber wenn ich eine Funktion habe, die ein Minimum für ein bestimmtes System erreicht, was kann ich damit machen?

Reibung und Dissipation sind nicht variabel, siehe zB diesen Beitrag . Es gibt "Lagrange"-Formulierungen für dissipative Kräfte, aber sie gehorchen nicht einem naiven Prinzip der kleinsten Wirkung, siehe diesen Beitrag und dieses Papier
@ACuriousMind: Ich werde die von Ihnen verlinkten Beiträge und Papiere überprüfen, ich bin mir noch nicht sicher, was Sie meinen, aber ich werde bis Ende des heutigen Tages zurückkommen, um genauer zu antworten. Eine andere Sache, die ich erwähnen möchte: Rayleigh hat eine Methode zum Umgang mit Dissipation und externem Forcieren, aber ich suche speziell nach einer eigenständigen Formulierung, bei der keine Disspationsfunktion erforderlich ist, sondern nur eine Funktion.
Der erste von mir verlinkte Beitrag zeigt eine allgemeine Methode zur Entscheidung, ob es eine Lagrange-Beschreibung für ein durch Differentialgleichungen gegebenes System gibt. Es ist definitiv - es gibt keine Lagrange-Beschreibung der generischen dissipativen Kraft (obwohl Sie in bestimmten Situationen möglicherweise schummeln können). Der Artikel diskutiert, wie eine "erweiterte Lagrange-Beschreibung", deren Lagrange-Funktion nicht die Summe von Potentialen und kinetischen Energien ist, aufgestellt werden kann, um disspative Kräfte zu modellieren.
@ACuriousMind: Ich suche nicht unbedingt nach einem Lagrange, ich stelle eine allgemeinere Frage zur Existenz von JEDEM Funktionselement, das in Bezug auf JEDES System stationär sein kann. Die andere verwandte Frage könnte lauten: Wann können Sie "betrügen" und warum? Unter welchen Bedingungen kann man auf Systemen "betrügen"?
Wie Qmechanic schreibt: „Dies eröffnet viele Möglichkeiten, und es kann sehr schwierig sein, systematisch ein Aktionsprinzip zu finden oder umgekehrt ein No-Go-Theorem zu beweisen, dass eine gegebene Menge von Eoms nicht variationell ist.“ Ich denke, wir haben keine Antwort auf Ihre Frage in dieser Allgemeinheit.
@ACuriousMind: Ich sehe Qmechanics Kommentar aus irgendeinem Grund nicht, aber ich verstehe, was du meinst. Ich habe andere Artikel zu diesem Thema gesehen, hauptsächlich solche, die sich mit faltungsbasierten Ansätzen befassen. Mich interessierten vor allem die theoretischen Aspekte des Problems. Angenommen, ich kann zum Beispiel eine Funktion finden, spielt es keine Rolle, was es ist, welche Art von Bedingungen für die Dynamik, Funktion usw. bestehen.

Antworten (1)

Kommentare zur Frage (v3):

I) Die bilokale Gurtin-Tonti-Methode [die OP in einem Beispiel erwähnt; siehe auch Abschnitt II unten] der Paarung entgegengesetzter Zeiten T ↔ ( T F − T ich ) − T (versteckt in einer Faltung) ist aus grundlegender physikalischer Sicht ein künstlicher Trick, sofern nicht weiter begründet. Warum sollten solche Korrelationen in die Vergangenheit/Zukunft stattfinden?

Tatsächlich kann es nichtlokale quantenmechanische Konsequenzen haben, wenn eine solche nichtlokale Aktion in einem Pfadintegralformalismus verwendet werden soll.

Auch das Gurtin-Tonti-Faltungsverfahren funktioniert nicht für ein nicht kompaktes Zeitintervall [ T ich , T F ] , dh wenn T ich = − ∞ oder T F = ∞ .

Die meisten grundlegenden physikalischen Modelle gehorchen typischerweise der Lokalität , aber es gibt verschiedene nicht-lokale Vorschläge auf dem Markt.

Die Frage, ob ein bestimmter Satz von Bewegungsgleichungen E ich ( T ) ein Wirkprinzip hat (oder auch nicht!), kann sehr schwer zu beantworten sein und ist oft ein aktives Forschungsgebiet, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

Auch was macht ein akzeptables Handlungsprinzip aus? Können wir zB einfach einige Lagrange-Multiplikatoren einführen λ ich ( T ) und eine Aktion S = ∫ D T   λ ich ( T ) E ich ( T ) so dass δ S / δ λ ich ( T ) = E ich ( T ) , und nennen Sie es einen Tag? Oder dürfen wir keine Hilfsvariablen oder Nicht-Lokalität einführen? Sollte es eher einem Minimalprinzip als einem stationären Prinzip genügen? Und so weiter.

II) Beispiel. Betrachten wir der Einfachheit halber das Einheitszeitintervall [ T ich , T F ] = [ 0 , 1 ] . Eine symmetrisierte Version des Gurtin-Tonti-Modells ist die folgende bilokale Aktion

S [ Q ]   :=   1 4 ∬ [ 0 , 1 ] 2 D T   D u   { Q ich ( T ) ( D Q ich ( u ) D u − A ich J ( T , u ) Q J ( u ) ) + ( T ↔ u ) } δ ( T + u − 1 )
  =   1 2 ∫ [ 0 , 1 ] D T   { 1 2 Q ich ( 1 − T ) D Q ich ( T ) D T − 1 2 Q ich ( T ) D Q ich ( 1 − T ) D T − Q ich ( 1 − T ) A ich J ( 1 − T , T ) Q J ( T ) }
(1)   =   1 2 ∫ [ 0 , 1 ] D T   { Q ich ( 1 − T ) D Q ich ( T ) D T − Q ich ( 1 − T ) A ich J ( 1 − T , T ) Q J ( T ) }

mit symmetrischer Matrix

(2) A ich J ( T , u )   =   A J ich ( u , T ) .

Interessanterweise sind die Grenzbeiträge in der Variation δ S abbrechen, ohne irgendwelche Randbedingungen aufzustellen (BC). Mit anderen Worten, was das Finden stationärer Lösungen betrifft, können wir davon ausgehen, dass die Variablen Q ich sind an beiden Endpunkten frei. (Allerdings kann es auch andere Gründe geben, BCs aufzuerlegen.)

Das funktionale Derivat

(3) δ S [ Q ] δ Q ich ( T )   =   { D Q ich ( u ) D u − A ich J ( T , u ) Q J ( u ) } | u = 1 − T .

Daraus werden die Bewegungsgleichungen

(4) D Q ich ( T ) D T   ≈   A ich J ( 1 − T , T ) Q J ( T ) .

Verweise:

  1. V. Berdichevsky, Variationsprinzipien der Kontinuumsmechanik: I. Grundlagen, 2009; Anhang B.
Ich glaube, ich verstehe, was du meinst. Im Endeffekt argumentieren Sie, dass es aus physikalischer Sicht keinen Sinn macht, diese gegensätzlichen Zeiten zu mischen? Welche Art von Begründung wäre sinnvoller? Nehmen Sie zum Beispiel dieses Papier: arxiv.org/abs/1112.2286 Hier verwendet der Autor gebrochene Ableitungen, um ein Variationsprinzip zu formulieren. Auch gebrochene Ableitungen sind nichtlokale Größen, und es spricht einiges dafür, dass Prozesse mit Reibung in gewissem Sinne nichtlokal sind, da sie wegabhängig sind.
Ich verstehe, was Sie mit der Frage der Lokalität meinen. Es ist interessant festzustellen, dass die Faltung im Frequenzbereich eine lokale Form annimmt und das Skalarprodukt das Gegenteil bewirkt.
Die Faltung könnte auch nützlich sein, um dissipative Prozesse zu beschreiben, insbesondere aufgrund ihrer nicht lokalen Natur. Eine Art Art zu sagen: „Ich habe gerade Zeit T , lassen Sie mich jetzt alle Informationen über meinen Zustand zusammenfassen T Zeit in der Vergangenheit mit den auf diese Zeit zurückgehenden Informationen haben reelle Eigenwerte, die dissipativ sein können).
Außerdem gibt es Möglichkeiten, lokale Variationsprinzipien für dissipative Systeme zu formulieren. Meine einzige Sorge wäre, dass die Konfiguration des Systems am Anfang und am Ende nicht wirklich gleich ist. Wie kann man also rechtfertigen, dass die Variation bei beiden Null ist? Endpunkte?
Weitere Referenzen: CR Galley, arxiv.org/abs/1210.2745 Der Trick hier ist kurz 1. Verdoppeln Q S. 2. L = L 1 − L 2 + … . 3. Q − wirkt wie ein Lagrange-Multiplikator, der das eom for auferlegt Q + .
Danke! Ich habe das tatsächlich auch gesehen, es ist definitiv hilfreich.
Wie formuliert man Variationsprinzipien (Lagrange/Hamilton) für nichtlineare, dissipative oder Anfangswertprobleme?
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