Ein Problem bei der Ableitung der Hamilton-Jacobi-Gleichung aus einem Variationsprinzip

Wie ich bereits sagte, habe ich ein Problem damit, eine Argumentation zu verstehen, aus der wir die Hamilton-Jacobi-Gleichung aus einem Variationsprinzip ableiten. Nehmen wir das Hamilton-Funktional:

$$S = \int_{t_0}^{t_1} [ p_{\alpha}\dot{q}^{\alpha} - H(q^{\alpha},p_{\alpha},t) ]\, dt$$

Die erste Variation des Phasenraums dieses Funktionals ist in der allgemeinsten Form:

$$(\delta S)_{\bar{\gamma}} = [p_\alpha \delta q^{\alpha} - H \delta t]_{t_0}^{t_1} + \int_{t_0}^{t_1} \left\{ \left[ \dot{q}^{\alpha} - \frac{\partial H}{\partial p_\alpha} \right]_{\bar{\gamma}}\pi_\alpha - \left[ \dot{p}_{\alpha} + \frac{\partial H}{\partial q^\alpha} \right]_{\bar{\gamma}}\eta_\alpha \right\}\, dt$$

Dabei wird die Variation des Funktionals S über die Deformation der Kurve ausgewertet${\bar{\gamma}} \to \gamma$im Phasenraum:

$$\bar{\gamma}: \begin{cases} q^{\alpha} = \overline{q}^{\alpha}(t) \\ p_{\alpha} = \overline{p}_{\alpha}(t) \\ A = \{ \overline{q}^{\alpha}(t_0);\overline{p}_{\alpha}(t_0) \} \\ B = \{ \overline{q}^{\alpha}(t_1);\overline{p}_{\alpha}(t_1) \} \\ \end{cases} \qquad t \in [t_0,t_1]$$ $$\gamma: \begin{cases} q^{\alpha} = \overline{q}^{\alpha}(t) + \lambda\eta_{\alpha}(t) \\ p_{\alpha} = \overline{p}_{\alpha}(t) + \lambda\pi_{\alpha}(t)\\ A' = \{ \overline{q}^{\alpha}(t_0 + \lambda \delta t_0) + \lambda \eta_{\alpha}(t_0 + \lambda \delta t_0) ; \overline{p}_{\alpha}(t_0 + \lambda \delta t_0) + \lambda \pi_{\alpha}(t_0 + \lambda \delta t_0) \} \\ B' = \{ \overline{q}^{\alpha}(t_1 + \lambda \delta t_1)+\lambda \eta_{\alpha}(t_1 + \lambda \delta t_1); \overline{p}_{\alpha}(t_1 + \lambda \delta t_1) + \lambda \pi_{\alpha}(t_1 + \lambda \delta t_1) \} \\ \end{cases} \qquad t \in [t_0 +\lambda \delta t_0,t_1 +\lambda \delta t_1]$$

Wo$\eta_{\alpha}$Und$\pi_{\alpha}$sind reguläre Funktion. Nun, in meinen Notizen wählen wir$\bar{\gamma}$e wir lassen$A=A'$, so dass wir einen anfänglichen Fixpunkt haben. Dann sagen wir, dass auf der gewählten Kurve die Hamilton-Gleichung erfüllt ist, so dass die Variation von S nur wird:

$$(\delta S)_{\bar{\gamma}} = [p_\alpha \delta q^{\alpha} - H \delta t]_{t_0}^{t_1}$$

[ Erste Frage Ist das legitim? Wenn die Hamilton-Gleichung aus demselben Variationsprinzip abgeleitet wird, können wir dann „a priori“ sagen, dass sie auf einem bestimmten Pfad im Phasenraum gültig sind? ]

Dann betrachten wir den Punkt B als beweglich, also zeitabhängig. Damit ist S kein Funktional mehr, sondern eine Funktion der Zeit. Die Variation kann also als Differential interpretiert werden:

$$dS= p_\alpha d q^{\alpha} - H d t$$

[ Zweite Frage Ich möchte einen mathematischen Beweis dafür haben, weil es für mich nicht trivial ist, wie es klingt.]

Dann können wir beweisen, dass S eine Funktion von ist$S(q^{\alpha}(t), t ,q^{\alpha}(t_0), t_0 )$, so dass:

$$dS = \frac{\partial S}{\partial q^{\alpha}}d q^{\alpha} +\frac{\partial S}{\partial t} dt$$

Durch Gleichsetzen der beiden Ergebnisse erhalten wir:

$$\frac{\partial S}{\partial t} + H \left( q^{\alpha} , \frac{\partial S}{\partial q^{\alpha}}, t \right) = 0$$

Das ist die Hamilton-Jacobi-Gleichung.

Dritte Frage Ist diese Begründung formal richtig? Es fühlt sich für mich nicht richtig an. Und was noch wichtiger ist: Kennen Sie irgendein Buch, das das Argument so oder ähnlich behandelt, das strenger ist?