Positions- und Impulsunabhängigkeit im Einsatz

Question

Positions- und Impulsunabhängigkeit im Einsatz

Dris

Warum sind Ort und Impuls bezüglich der Hamilton-Aktion unabhängig? $S_H$ gegeben von

\begin{matrix} (1) & S_{H} = \int_{T_{1}}^{T_{2}} (P \dot{Q} - H) D T ? \end{matrix}

$S_H = \int_{t_1}^{t_2} (p \dot q - H) dt \ \ \ ? \tag{1}$

Während wir die Hamilton-Gleichungen aus dieser Aktion durch Variation des Pfades ableiten, nehmen wir an, dass die Variation der Positionen $\delta q$ ist unabhängig von der Impulsänderung $\delta p$ und daher erhalten wir 2 $n$ Gleichungen. Allerdings in der Lagrange-Aktion

\begin{matrix} (2) & S_{L} = \int_{T 1}^{T_{2}} L D T \end{matrix}

$S_L = \int_{t1}^{t_2} L dt \tag{2}$ Wir zeigen, dass die Variationen in Position und Geschwindigkeit zusammenhängen durch

\begin{matrix} (3) & δ \dot{Q} = \frac{D}{D T} δ Q \end{matrix}

$\delta \dot q = \frac{d}{dt} \delta q \tag{3}$ Wie können Ort und Impuls unabhängig sein, aber nicht Ort und Geschwindigkeit im selben Aufbau? Sind Geschwindigkeit und Impuls nicht an sich dasselbe?

(Die Hamilton-Aktion wurde in der Antwort von Qmechanics auf eine ähnliche Frage erwähnt, aber ich konnte nicht zeigen, dass Position und Impuls für die Hamilton-Aktion unabhängig sind. Jede Hilfe, die dies beweist, wäre sehr willkommen. )

Charlie

q

$q$ Und

\dot{q}

$\dot q$ ebenso gut wie

p

$p$ Und

q

$q$ sind beide nur Mannigfaltigkeitskoordinaten, also a priori unabhängige Variablen. Diese Frage wurde schon oft auf der Seite gestellt.

QMechaniker

Hallo Drishti Gupta. Willkommen bei Phys.SE. Wie wollen Sie hypothetisch Formel (1) verwenden, wenn Ort und Impuls nicht unabhängig sind? [Wenn wir andererseits annehmen , dass Ort und Impuls in Formel (1) unabhängig sind, dann können wir die Hamilton-Gleichungen leicht durch Standardüberlegungen ableiten.]

Dris

Hallo @QMechaniker. Idealerweise würde ich schreiben

p

$p$ als Funktion von

q

$q$ Und

\dot{q}

$\dot q$ (unter Verwendung

p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}

$p = \frac{\partial L}{\partial \dot q}$ ) und dann eine Variation bewirken

δ p

$\delta p$ durch Variieren

q

$q$ in der Funktion. Ich würde das verwenden

δ p

$\delta p$ in 1). Aber alle Standardtexte weisen darauf hin, dass dies nicht das Richtige ist, obwohl ich nicht verstehe, warum.

QMechaniker

In (1) befinden wir uns in der Hamilton-Formel, also kann man nicht ohne weiteres eine Lagrange-Formel verwenden

p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}

$p = \frac{\partial L}{\partial \dot q}$ .

Antworten (1)

Positions- und Impulsunabhängigkeit im Einsatz

$q$ Und $\dot q$ ebenso gut wie $p$ Und $q$ sind beide nur Mannigfaltigkeitskoordinaten, also a priori unabhängige Variablen. Diese Frage wurde schon oft auf der Seite gestellt.
Hallo Drishti Gupta. Willkommen bei Phys.SE. Wie wollen Sie hypothetisch Formel (1) verwenden, wenn Ort und Impuls nicht unabhängig sind? [Wenn wir andererseits annehmen , dass Ort und Impuls in Formel (1) unabhängig sind, dann können wir die Hamilton-Gleichungen leicht durch Standardüberlegungen ableiten.]
Hallo @QMechaniker. Idealerweise würde ich schreiben $p$ als Funktion von $q$ Und $\dot q$ (unter Verwendung $p = \frac{\partial L}{\partial \dot q}$ ) und dann eine Variation bewirken $\delta p$ durch Variieren $q$ in der Funktion. Ich würde das verwenden $\delta p$ in 1). Aber alle Standardtexte weisen darauf hin, dass dies nicht das Richtige ist, obwohl ich nicht verstehe, warum.
In (1) befinden wir uns in der Hamilton-Formel, also kann man nicht ohne weiteres eine Lagrange-Formel verwenden $p = \frac{\partial L}{\partial \dot q}$ .

Löslicher Fisch · Answer 1

Die Lagrange-Mechanik findet im Konfigurationsraum mit Koordinaten statt $q$ . Die Lagrange-Funktion ist eine Funktion von $q$ Und $\dot q$ , wobei letzteres die zeitliche Ableitung des ersteren ist.
Die Hamiltonsche Mechanik findet im Phasenraum mit Koordinaten statt $(q,p)$ . Die Beziehung zwischen den beiden ist eine der Bewegungsgleichungen von Hamilton. Bei der Ableitung dieser Bewegungsgleichungen aus einem Wirkprinzip kommt man nicht umhin, sie als unabhängige Variablen zu betrachten. Zum Beispiel mit dem Üblichen $H(p,q) = \frac{p^2}{2m} + V(q)$ , eine von Hamiltons Gleichungen lautet:
$\dot{Q} = \frac{\partial H}{\partial P} = \frac{P}{M}$ $\dot q = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}$
Es gibt eine Verbindung zwischen den beiden Formalismen (wenn der kinetische Begriff schön genug ist):
- von einem Lagrange $L(q,\dot q)$ , wobei die Legendre-Transformation in Bezug auf genommen wird $\dot q$ gibt einen Hamiltonoperator $H(q,p)$ so dass beide Hamilton-Gleichungen zusammengenommen der Euler-Lagrange-Gleichung entsprechen. Dies bedeutet, dass aus dem Konfigurationsraum mit Koordinate $q$ und Lagrange-Funktion $L(q,\dot q)$ , können wir einen Phasenraum mit Koordinaten aufbauen $(q,p)$ und eine Hamilton-Funktion darauf $H(q,p)$ so dass die Dynamik von $q$ unter den Bewegungsgleichungen von Hamilton ist identisch mit der unter Euler-Lagrange.
- Die Umkehrung ist etwas subtiler: aus einem Phasenraum $(q,p)$ und ein Hamiltonian $H(q,p)$ , nehmen wir die Legendre-Transformation und definieren eine Funktion $L(q,v) = vp - H(q,p)$ . Die durch die Legendre-Transformation eingeführte neue Variable wird durch fixiert $v = \partial H/ \partial p$ also sehen wir das durch die Hamilton-Gleichung $v= \dot q$ . Daher können wir uns dafür entscheiden, nur den Konfigurationsraum zu berücksichtigen $(q)$ und lassen Sie die Dynamik durch die Euler-Lagrange-Gleichungen bestimmen.

Oh, also nimmt die Hamilton-Formel keine Beziehung zwischen den Geschwindigkeiten und dem Impuls an und findet sie tatsächlich. Da wir also nicht die Definition von Impuls verwenden, die wir in der Lagrange-Funktion definieren, bedeutet dies das? $H = p\dot q - L$ ist nur eine Methode , um die Form des Hamilton-Operators herauszufinden, und die Hamilton-Definitionen haben eigentlich nichts mit Lagrange-Definitionen zu tun?
Es besteht eine Beziehung zwischen den beiden (ich habe einige Erklärungen in meiner Antwort bearbeitet).
Es fühlt sich ein wenig irreführend an zu sagen, dass die Lagrange-Mechanik im Konfigurationsraum stattfindet, und dann zu sagen, dass die Hamilton-Mechanik im Phasenraum stattfindet (was impliziert, dass sie nichts mit dem Konfigurationsraum zu tun hat), da beide nur reale Funktionen auf der Tangente sind bzw. Kotangensbündel des Konfigurationsraums. Keines von beiden findet wirklich allein auf dem Konfigurationsraum statt.
Nun, die Hamilton-Dynamik kann auf einer allgemeinen symplektischen Mannigfaltigkeit ausgedrückt werden, wofür das Kotangensbündel eines Konfigurationsraums nur ein Beispiel ist. Eine wichtige Konsequenz ist, dass die kanonische Transformation Orts- und Impulskoordinaten mischen kann, was in der Lagrange-Mechanik nicht möglich ist.

Positions- und Impulsunabhängigkeit im Einsatz

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