Bedeutung von Lagrange im Prinzip der kleinsten Wirkung?

Ich habe die Legendre-Transformation studiert und es war eine lustige Erkenntnis zu sehen, dass die Beziehung zwischen dem Lagrange- und dem Hamilton-Operator einfach eine Legendre-Transformation ist, dh

(1) { H , P } → { L , v } .

Ich habe es zum ersten Mal in diesem Artikel gesehen: https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.3119512

Diese Legendre-Transformationsverbindung zwischen dem Hamiltonian/Lagrangeian ist ordentlich, weil sie impliziert,

(2) v ≡ D H D P .

Was wir bereits aus der Intuition/Formulierung des Hamiltonoperators kennen. Wie auch immer, was ich mich frage, ist, warum wir bei der Berechnung von Aktionen unbedingt die Lagrange-Funktion verwenden. Oder genauer gesagt, wenn das Prinzip der kleinsten Wirkung demonstriert wird, dh

(3) minimieren ( S = ∫ T 1 T 2 L D T ) .

Am einfachsten war es für mich, Feynmans Herleitung für die klassische Mechanik zu folgen, und ich konnte ihr folgen. Aber ich denke, meine Frage ist eher, warum die Aktionsfunktion den Lagrange- und nicht den Hamilton-Operator verwendet. Das Ergebnis der obigen Gleichung für die klassische Mechanik liefert nun:

(4) D U D X = − M X ¨ .

Was selbstverständlich ist, zeigt, warum die Lagrange-Funktion in der Theorie funktioniert. Aber gibt es einen Grund, warum wir nicht aufgefordert werden, Folgendes zu berechnen?

(5) S = ∫ T 1 T 2 H D T .

(Abgesehen von der Tatsache, dass die Legendre-Transformation uns sagt, dass es wahrscheinlich so sein sollte, S = ∫ T 1 T 2 ( P D H D P − H ) D T . ) Mit anderen Worten, ist es ersteres einfach, weil die Physik selbstkonsistent ist? Oder übersehe ich etwas?

Können Sie ein Beispiel für eine Antwort geben, die Sie befriedigend finden würden? Auf einer gewissen Ebene lautet die Antwort: "Wir machen es so, weil es funktioniert." Wenn Sie beispielsweise einen Pfad finden, für den das Integral über die Zeit des Lagrange-Operators stationär ist, reproduzieren Sie die Newtonschen Bewegungsgesetze, während dieselbe Aussage für das Integral über die Zeit des Hamilton-Operators nicht gilt.
@Charlie Eigentlich denke ich, das ist genau das, wonach ich suche. Habe es gerade kurz durchgelesen.
@Andrew Eher eine theoretische Frage, ich nehme an, eine zufriedenstellende Antwort auf die Frage wäre eine, die der beteiligten Mathematik folgt

Antworten (1)

Für was es wert ist: OPs vorgeschlagenes stationäres Aktionsprinzip (5) [unter der Annahme, dass der Hamiltonian H ( Q , P , T ) hängt nicht davon ab Q ˙ Und P ˙ ] würde bedeuten 1

∂ H ∂ Q   ≈   0   ≈   ∂ H ∂ P ,
die keine Hamilton-Gleichungen sind . Für das korrekte Hamilton-Aktionsprinzip siehe zB diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

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1 Der ≈ Symbol bedeutet Gleichheit modulo EOM.

Ah, okay. Ich habe diesen Begriff noch nie gehört. Danke für Ihre Antwort. Ich habe eine oberflächliche Suche durchgeführt, aber diesen Beitrag nicht gefunden, also geht das auf mich. Da also der Hamilton-Operator die Gesamtsystemenergie ist, akzeptieren wir, wenn die Integration aller Werte über die Zeit ein Minimum ergibt, dass das Potentialfeld Null ist und es keine Geschwindigkeiten gibt (zumindest nach klassischem Denken)?
↑ Ja.
Bedeutung von Lagrange im Prinzip der kleinsten Wirkung?
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