Warum muss die Gesamtaktion ein Extremum haben?

Warum muss der gesamte Pfad ein Extremum haben, aber kein Minimum?

Ich meine, das ist kein exakter Beweis, aber: Es gibt mindestens einen Weg, der die Euler-Lagrange-Gleichungen erfüllt, da sie zeitlich zweiter Ordnung sind und daher zwei Randbedingungen zulassen, die im Allgemeinen ausreichen, um den Start und festzulegen Endpunkte. Ausnahmen würden nur Fälle beinhalten, in denen Ihre Bewegungsgesetze es verbieten, dass ein Pfad von Punkt A nach Punkt B führt, und Sie sowieso nach einem solchen Pfad gefragt haben, z. B. wenn Sie versucht haben, einen (topologisch gesprochen) nicht verbundenen Raum zu verwenden und Setzen Sie dann die Punkte in getrennte Teile.

Was meinen sie auch damit, dass nur die Extremum-Bedingung verwendet wird?

Genauer: lassen$\mathcal P$bezeichnen die glatten Funktionen aus$\mathbb R$("Zeit zum$\mathbb R^n$("Teilchenkoordinaten"), die wir "Wege" nennen: Mathematiker würden wahrscheinlich sagen$\mathcal P = C^\infty(\mathbb R, \mathbb R^n)$oder so. (Wir brauchen gelegentlich eine schwächere Einschränkung wie zweimal differenzierbare Pfade oder so.)

Ein Aktionsprinzip ist eine Funktion$S_T :: \mathcal P \to \mathbb R$Abbildung von Pfaden auf reelle Zahlen, was wir die Aktion des Pfads nennen. Der$T$Hier ist eine optionale Zeitdomäne, die für einige Aktionsprinzipien nützlich ist, die mit einer Lagrange-Funktion dargestellt werden können$L :: (\mathbb R^n, \mathbb R^n, \mathbb R)\to\mathbb R$als:

$$S_T[p] = S_T\big[t \mapsto p(t)\big] = \int_T d\tau~L\big(p(\tau),~p'(\tau),~\tau\big).$$ Beachten Sie, dass die Lagrange-Funktion nicht weiß, dass ihre Argumente zeitabhängig oder voneinander abgeleitet sind oder ähnliches; der Lagrange sieht nur einige $(\vec a, \vec b, c)$und ordnet es einer Zahl zu. Dies hilft Ihnen, die Dinge klar zu halten, wenn Sie sich fragen, warum es beispielsweise eine totale zeitliche Ableitung gibt, aber nur eine partielle räumliche Ableitung: Die Sequenz lautet "do partielle Ableitungen von $L(\vec a, \vec b, c),$dann einwechseln $\vec a = p(t)$Und $\vec b = p'(t),$dann nehmen Sie diese Zeitableitung."

Wir führen eine Pfadstörung ein$p(t) \mapsto p(t) + \epsilon~q(t)$mit$q[T] = (\vec 0, \vec 0)$und suche dann den Weg$p$dessen Aktion ein Extremum relativ zu Pfadstörungen ist ,

$$S\big[t\mapsto p(t) + \epsilon~q(t)\big] = S[p] + O(\epsilon^2).$$ Wir versuchen daher, die Pfade zu untersuchen, für die der Begriff linear in $\epsilon$verschwindet, und dies ergibt die Euler-Lagrange-Gleichungen für das Wirkungsprinzip $(\nabla_a L)_{a=p,b=p'c=t} - \frac{d}{dt}\big[(\nabla_b L)_{a=p,b=p',c=t}\big]= 0.$

Wir verwenden daher nur die Extremumsbedingung that$\delta S = 0$, nicht die Mindestbedingung , dass auch für diesen Weg der nächste Term gilt$\epsilon^2 F[q]$für einige streng positiv$F.$Das Prinzip wird oft als "geringste Wirkung" bezeichnet, aber das ist eine falsche Bezeichnung , da die Wirkung auch ein Maximum oder ein Sattelpunkt oder was auch immer sein könnte, solange ihre "Ableitung" (Antwort auf kleine Pfadstörungen) verschwindet.

Das ist alles, was sie meinen, wenn sie sagen: "Nur die Extremum-Bedingung wird verwendet."

[Natürlich nehmen wir dann diese abstrakte mathematische Idee (externe Eingaben zu einem Aktionsprinzip) und verleihen ihr eine physikalische Bedeutung. Die Lagrange-Funktion ist kinetisch minus potentielle Energie, der Extremalweg ist der Weg, den das System tatsächlich vom gegebenen Start- zum Endpunkt nimmt, die Euler-Lagrange-Gleichungen sind daher "Bewegungsgleichungen" für das System durch seinen Phasenraum. Aber sie machen eine Aussage auf mathematischer Ebene, nicht auf physikalischer Ebene.]