Was sind Lagrange-Multiplikatoren in Bezug auf holonome Beschränkungen in der klassischen Mechanik?

Question

Was sind Lagrange-Multiplikatoren in Bezug auf holonome Beschränkungen in der klassischen Mechanik?

Aktion
Physik
klassische Mechanik
eingeschränkte Dynamik
lagrangescher Formalismus
Variationsprinzip

Quantenpeitsche

Um es klar und einfach zu machen, wenn ich eine holonomische Beschränkung habe, die ich mit einem Lagrange-Multiplikator behandeln möchte, werden sie in jedem Lehrbuch, das mich betrifft, einfach ausgedrückt als " $\lambda$ " (mögliche Argumente weglassen). Ich würde gerne wissen, ob ein Lagrange-Multiplikator so etwas wie " $\lambda(t)$ ", das wäre $\lambda$ ein zusätzlicher Freiheitsgrad sein, dessen Zeitabhängigkeit noch nicht bekannt ist. Oder ist der Lagrange-Multiplikator stattdessen eine (noch genau zu bestimmende) Erweiterung der Lagrange-Funktion und als solche " $\lambda(q, \dot{q}, t)$ "?

Ich werde meine Gedanken hier erweitern, warum ich denke, dass beide Versionen funktionieren: Beginnend mit " $\lambda(q, \dot{q}, t)$ “, wäre die vollständige Lagrange-Funktion des Systems

L = L (Q, \dot{Q}, T) - λ (Q, \dot{Q}, T) F (Q, T)

$\mathcal L = L(q, \dot{q},t) - \lambda(q, \dot{q},t) f(q,t)$ Variationen in den Wegen

δ q

$\delta q$ und die Anforderung, dass

f (q (t), t) = 0

$f(q(t),t)=0$ gilt, ergibt den korrekten EOM:

\frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} (Q (T), \dot{Q} (T), T) - \frac{\partial L}{\partial Q} (Q (T), \dot{Q} (T), T) = \frac{D}{D T} \frac{\partial λ}{\partial \dot{Q}} (Q (T), \dot{Q} (T), T) - \frac{\partial λ}{\partial Q} (Q (T), \dot{Q} (T), T)) F (Q (T), T) + \frac{\partial λ}{\partial \dot{Q}} (Q (T), \dot{Q} (T), T) \frac{D}{D T} F (Q (T), T) + λ (Q (T), \dot{Q} (T), T) \frac{\partial F}{\partial Q}

$\frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}} (q(t),\dot{q}(t),t) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q} (q(t),\dot{q}(t),t) = \\ \frac{d}{dt} \frac{\partial \lambda }{\partial \dot{q}} (q(t),\dot{q}(t),t) - \frac{\partial \lambda}{\partial q} (q(t),\dot{q}(t),t))f(q(t), t) + \frac{\partial \lambda}{\partial \dot{q}}(q(t),\dot{q}(t),t) \frac{d}{dt}f(q(t),t) + \lambda(q(t), \dot{q}(t), t) \frac{\partial f}{\partial q}$

Anwenden der Beschränkungen, $f = 0$ Und $\frac{d}{dt} f = 0$ , dann erhalten wir:

\frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} (Q (T), \dot{Q} (T), T) - \frac{\partial L}{\partial Q} (Q (T), \dot{Q} (T), T) = + λ (Q (T), \dot{Q} (T), T) \frac{\partial F}{\partial Q}

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} (q(t),\dot{q}(t),t) - \frac{\partial L}{\partial q} (q(t),\dot{q}(t),t) = + \lambda(q(t), \dot{q}(t), t) \frac{\partial f}{\partial q}$ Und

F (Q (T), T) = 0

$f(q(t), t) = 0$ das sind nur die Gleichungen, die die Bewegung des Systems beschreiben.

Alternativ kann ich (wie gesagt) die Multiplikatoren als zusätzliche Freiheitsgrade im Konfigurationsraum behandeln. Der gesamte Lagrangian, abhängig von $q$ , $\dot{q}$ , $\lambda$ , $\dot{\lambda}$ (Diese Abhängigkeit wird hier nur der Vollständigkeit halber aufgeführt, der gesamte Lagrangian hängt nicht davon ab $\dot{\lambda}$ ) und t, ist:

L (Q, \dot{Q}, T) - λ (T) F (Q, T)

$L(q, \dot{q},t) - \lambda(t) f(q,t)$ Die Lagrange-Gleichungen lauten dann:

\frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} (Q (T), \dot{Q} (T), T) - \frac{\partial L}{\partial Q} (Q (T), \dot{Q} (T), T) = λ (T) \frac{\partial F}{\partial Q} (Q (T), T)

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(q(t), \dot{q}(t),t) - \frac{\partial L}{\partial q} (q(t), \dot{q}(t), t) = \lambda(t) \frac{\partial f}{\partial q}(q(t), t)$ Und

F (Q (T), T) = 0

$f(q(t), t) = 0$

Beide Methoden ergeben, obwohl sie unterschiedliche Annahmen verwenden, die gleichen Bewegungsgleichungen. Welche ist machbarer? Gibt es Fälle, in denen meine Argumentation nicht funktioniert, die eine der beiden von mir angegebenen Optionen begünstigen?

Antworten (2)

Was sind Lagrange-Multiplikatoren in Bezug auf holonome Beschränkungen in der klassischen Mechanik?

Dirakologie · Answer 1

Was Sie bemerkt haben, ist, dass es unter holonomen Einschränkungen eine doppelte Beschreibung von Lagrange-Systemen geben kann.

Betrachten Sie ein lagrangesches System mit $n$ Variablen und $m$ holonome Beschränkungen. Lagrange-Multiplikatoren können eigentlich einfach als so gewählte unbestimmte Funktionen angesehen werden

\frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{ich}} - \frac{\partial L}{\partial Q_{ich}} - \sum_{A} λ_{A} \frac{\partial F_{A}}{\partial Q_{ich}} = 0,

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}-\sum_a\lambda_a\frac{\partial f_a}{\partial q_i}=0,$ für

m

$m$ des

q_{i}

$q_i$ . Der Rest

n - m

$n-m$ Variablen können unabhängig variiert werden und das Problem hat

n - m

$n-m$ Freiheitsgrade.

Andererseits können Lagrange-Multiplikatoren auch als neue unabhängige Variablen angesehen werden, $\lambda_a(t)$ . Gegeben ein Lagrange $L(q,\dot q,t)$ Und $m$ holonome Beschränkungen $f_a(q,t)=0$ dann können wir ein duales Problem formulieren, das auf der unbeschränkten dualen Lagrangefunktion besteht

\begin{matrix} (1) & \tilde{L} (Q, \dot{Q}, λ, T) = L (Q, \dot{Q}, T) + \sum_{A} λ_{A} (T) F_{A} (Q, T) . \end{matrix}

$\tilde L(q,\dot q,\lambda,t)=L(q,\dot q,t)+\sum_a \lambda_a(t)f_a(q,t).\tag 1$ Die Lagrange-Multiplikatoren

λ_{a} (t)

$\lambda_a(t)$ werden dann in einem Variationsproblem mit als neue unabhängige Variablen betrachtet

n + m

$n+m$ Freiheitsgrade. Variation bzgl

q_{i}

$q_i$ gibt die dynamischen Gleichungen,

\frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{ich}} - \frac{\partial L}{\partial Q_{ich}} = \sum_{A} λ_{A} \frac{\partial F_{A}}{\partial Q_{ich}},

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=\sum_a\lambda_a\frac{\partial f_a}{\partial q_i},$ während die Variation in Bezug auf

λ_{a}

$\lambda_a$ geben Sie die Nebenbedingungsgleichungen an,

F_{A} (Q, T) = 0.

$f_a(q,t)=0.$

Beachten Sie, dass diese duale Beschreibung nicht für nichtholonome Einschränkungen gilt, da wir aufgrund des Fehlens der Einschränkungsgleichungen der Form keine duale Lagrangian wie (1) schreiben können $f_a=0$

Sie sagen also im Prinzip, solange eine der Varianten möglich ist, wird sie der anderen nicht vorgezogen?
Sie sind sogar aus praktischer Sicht völlig gleichwertig. Ich bevorzuge nur die zweite, weil es einfacher ist, sich an die Prozedur zu erinnern. Es darf auch etwas eleganter sein.

QMechaniker · Answer 2

Herkömmlicherweise geht die Zählung wie folgt: Es gibt beliebig viele Lagrange-Multiplikatoren $\lambda_i(t)$ da es Einschränkungen gibt $f^i(t)\approx 0$ . Da eine Einschränkung $f^i(t)\approx 0$ sollte in jedem Augenblick zufrieden sein $t$ , gibt es einen Lagrange-Multiplikator $\lambda_i(t)$ für jeden Augenblick $t$ . Äquivalent: die Lagrange-Multiplikatoren $\lambda_i(t)$ hängt von der Zeit ab $t$ .

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