Ableitung der Euler-Lagrange-Gleichungen aus dem Hamilton- und dem D'Alembert-Prinzip

Goldsteins Buch der Klassischen Mechanik leitet die Euler-Lagrange-Gleichungen aus zwei verschiedenen Prinzipien ab:

  1. Das besagt das Hamiltonsche Prinzip

δ S = δ ∫ T 1 T 2 L ( Q ich , Q ˙ ich , T ) D T = 0 ,

wo keine Bedingungen auf L ( Q ich , Q ˙ ich , T ) scheinen erforderlich zu sein, und von hier aus kann man direkt Euler-Lagrange-Gleichungen erhalten.

  1. Das D'Alembert-Prinzip (in Bezug auf verallgemeinerte Koordinaten) besagt dies

∑ J { [ D D T ( ∂ T ∂ Q ˙ J ) − ∂ T ∂ Q J ] − Q J } δ Q J = 0 ,

wobei man berücksichtigen muss, dass die kinetische energie T ist eine quadratische Funktion der Geschwindigkeiten Q ˙ J .

Um die Euler-Lagrange-Gleichungen aus diesem Prinzip zu erhalten, muss man auch die verallgemeinerte Kraft berücksichtigen Q J ist aus der potentiellen Energiefunktion ableitbar v , die eine nur von den Koordinaten abhängige Funktion sein muss Q J . Die Form der Lagrangian muss sein L = T − v in diesem Fall.

  1. Ist das Hamilton-Prinzip stärker in dem Sinne, dass es der Form des Lagrange-Operators keine Beschränkungen auferlegt? oder es fehlt eine Einschränkung?

  2. Gibt es eine andere Möglichkeit, Euler-Lagrange-Gleichungen aus dem D'Alembert-Prinzip abzuleiten, ohne die Formen von einzuschränken? T , v Und L ?

1. Frage: Ja, 2. Frage: Das Prinzip von S'Alembert liefert nur eine Rechtfertigung für das Prinzip von Hamilton
Das Hamilton-Prinzip erfordert also nicht, dass die Zwangskräfte keine virtuelle Arbeit leisten?
@ bgr95 1) Nein. Das Hamilton-Prinzip in dieser Form gilt unter den Bedingungen von 2) (was im Goldstein selbst angegeben ist).
aber ist dieses Problem nicht TRIVIAL? in der Tat, wenn Sie eine Funktion setzen L = T − v Sie erhalten die Bewegungsgleichung, warum heißt es also Hamilton-Prinzip, wenn es sich um eine triviale Schlussfolgerung aus der Euler-Lagrange-Gleichung für Variationsprobleme handelt? =

Antworten (1)

I) Eigentlich ist es umgekehrt. Im Kontext der Newtonschen Mechanik ist die Hierarchie von den meisten bis zu den am wenigsten zutreffenden:

  1. Es gelten immer die Newtonschen Gesetze.

  2. D'Alembertsches Prinzip oder Lagrange-Gleichungen. Gleitreibung verstößt zB typischerweise gegen das D'Alembertsche Prinzip.

  3. Das stationäre Wirkprinzip S = ∫ D T   L , mit Lagrange L = T − U , und seine Euler-Lagrange-Gleichungen. Beispielsweise hat eine verallgemeinerte Kraft möglicherweise kein verallgemeinertes Potential U .

II) In Punkt 3 haben wir stillschweigend angenommen, dass die Lagrange-Funktion von der Form ist

(1) L   =   T − U ,
wie es üblich ist. T Und U in Gl. (1) kann als Darstellung der kinematischen und der dynamischen Seite des 2. Newtonschen Gesetzes angesehen werden, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Die lineare Struktur von Gl. (1) spiegelt auch kategorial-ähnliche Kompositionsregeln wider, wie physikalische Modelle aus physikalischen Subsystemen aufgebaut werden.

Es gibt streng genommen Ausnahmen von der Form (1), vgl. zB dieser Phys.SE-Beitrag, aber diesen Ausnahmen fehlen oft kategorische Kompositionsregeln, die sie für eine nützliche Modellerstellung ungeeignet machen.

III) Weitere Details und Diskussionen finden Sie z. B. in meinen verwandten Phys.SE-Antworten hier , hier und den darin enthaltenen Links.

Ich sehe nicht klar, dass das Hamilton-Prinzip bei der Ableitung der Euler-Lagrange-Gleichungen durch Goldstein erfordert, dass die verallgemeinerte Kraft von einer Potentialfunktion ableitbar sein muss. Er sagt, dass das System monogen sein muss ( F = − ∇ v ), aber ich sehe nicht, wie dies tatsächlich in die Formulierung eingeht ...
Sicher ... die Lagrange-Funktion muss immer in Bezug auf die Energien geschrieben werden (wenn auch nicht unbedingt L = T − v ). Wenn Sie die Kraft nicht als Potentialfunktion schreiben können, ist es unmöglich, die kovariante Eigenschaft der Lagrange-Formulierung zu haben (etwas nur in Bezug auf Skalare). Das ist der Punkt, oder?
Ableitung der Euler-Lagrange-Gleichungen aus dem Hamilton- und dem D'Alembert-Prinzip
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