Warum können wir unabhängige Variablen annehmen, wenn wir Lagrange-Multiplikatoren in nicht-holonomen Systemen verwenden?

Ich studiere aus Goldsteins Classical Mechanics, 3. Auflage. In Abschnitt 2.4 diskutiert er nicht-holonome Systeme. Wir gehen davon aus, dass die Einschränkungen in die Form gebracht werden können

(2.20) F a ( Q , Q ˙ , T ) = 0 , a = 1 … M .
Dann hält es das auch
(2.21) ∑ λ a F a = 0.
Unter Verwendung des Hamilton-Prinzips (dh dass die Wirkung stationär sein muss) erhalten wir das

(2.22) δ ∫ 1 2 L   D T = ∫ 1 2 D T   ∑ k = 1 N ( ∂ L ∂ Q k − D D T ∂ L ∂ Q k ˙ ) δ Q k = 0 .

Aber wir können daraus keine Lagrange-Gleichungen erhalten, weil die δ Q k sind nicht unabhängig. Wenn wir dies jedoch mit hinzufügen ∑ λ a F a = 0 , es folgt dem

(2.23) δ ∫ T 1 T 2 ( L + ∑ a = 1 M λ a F a )   D T = 0.

Und dann sagt Goldstein das

Die Variation kann nun mit durchgeführt werden N δ Q ich Und M λ a für M + N unabhängige Variablen.

Warum sind die Variablen plötzlich unabhängig geworden? Zuerst hatten wir N abhängige Variablen, warum haben wir jetzt M + N unabhängige?

Antworten (1)

Lass es sein N Koordinaten Q J . Die Behandlung von nicht-holonomen Beschränkungen in Lit. 1 ist aus verschiedenen Gründen unterdurchschnittlich, siehe zB this & this related Phys.SE posts. Wir interpretieren die Frage von OP (v2) jedoch so, dass es hauptsächlich darum geht, unabhängige Freiheitsgrade in eingeschränkten Systemen zu zählen, und nicht so sehr um nicht-holonome Einschränkungen an sich. Um eine Intuition zu erlangen, lassen Sie uns daher der Einfachheit halber nur überlegen M holonome Beschränkungen

(A) F a ( Q )   =   0 ,

Wo M ≤ N (und wo wir mögliche explizite Zeitabhängigkeiten in der Notation unterdrückt haben). Einige Regularitätsannahmen vorausgesetzt, können wir die im Prinzip lösen M Einschränkungen (A) lokal, so dass die Koordinaten

(B) Q J   =   G J ( ξ , φ )

Funktionen von werden N − M unabhängige physikalische Koordinaten ξ A , Und M Koordinaten φ a , so dass lokal die N − M dimensionale Begrenzungsfläche

(C) { Q ∈ R N | F ( Q ) = 0 }

ist parametrisiert als

(D) { G ( ξ , φ = 0 ) ∈ R N | ξ ∈ R N − M } .

Somit haben wir mindestens zwei äquivalente Variationsformulierungen:

  1. Reduzierter Formalismus: Ersetzen Q J mit G J ( ξ , φ = 0 ) in der Aktion S [ Q ] . Variieren Sie die entsprechende Aktion S [ ξ ] wrt. Die N − M unabhängige Variablen ξ A .

  2. Erweiterter Formalismus: Ersetze die Aktion S [ Q ] mit

    (E) S [ Q , λ ] = S [ Q ] + ∫ D T   λ a F a ( Q ) .
    Variieren Sie die entsprechende Aktion S [ ξ , λ ] wrt. Die N + M unabhängige Variablen Q J Und λ a .

Die Rolle der M Lagrange-Multiplikatoren λ a kann als Putting angesehen werden M Variablen φ a = 0 , sodass nur die N − M physikalische Größen ξ A bleibt, und Formulierung (2) reduziert sich zu (1).

Verweise:

  1. H. Goldstein, Klassische Mechanik, 3. Aufl.; Abschnitt 2.4.
Warum können wir unabhängige Variablen annehmen, wenn wir Lagrange-Multiplikatoren in nicht-holonomen Systemen verwenden?
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