Verallgemeinerte Koordinaten in der 3D-Rotation

Ihr Fehler ist anzunehmen, dass die Anzahl der Einschränkungen ist$N(N-1)/2$. Diese Zahl gilt nur für$N\leq 4$.

Lassen Sie uns die Teilchen mit beschriften$1,2,\ldots,N$und das sagen$\bar{ij}$bezeichnet die Beschränkung zwischen Partikeln$i$Und$j$. Für ein Teilchen gibt es keine Einschränkung. Für zwei Partikel gibt es eine Einschränkung (siehe Diagramme unten). Wenn$N=3$Wir haben drei Einschränkungen:$\bar{12},\bar{13},\bar{23}$. Fügen Sie ein viertes Partikel hinzu und wir erhalten drei weitere Einschränkungen:$\bar{14}$Und$\bar{24}$Abstand vom Partikel fixieren$4$zu Partikeln$1$Und$2$Und$\bar{34}$was dem vierten Teilchen verbietet, sich um die Verbindungsachse zu drehen$1$Und$2$. Dadurch wird der Abstand festgelegt$4$Zu$3$. Dies ergibt insgesamt sechs Beschränkungen. Ziehen Sie zum Schluss in Betracht, ein weiteres Partikel hinzuzufügen. Jetzt kommen die Dinge anders. Die neuen Zwänge$\bar{15},\bar{25}$fixieren Sie den Abstand zu$1$Und$2$. Die einzige Freiheit, die das sechste Teilchen noch hat, besteht darin, sich um die Verbindungslinie zu drehen$1$Und$2$. Deshalb nur eine weitere Einschränkung, sagen wir$\bar{13}$, reicht aus, um das sechste Teilchen starr zu fixieren. Die Gesamtzahl der Einschränkungen beträgt in diesem Fall sechs.

Wie Sie in dieser Konstruktion sehen können, fügte das erste Partikel null Einschränkungen hinzu, das zweite fügte eine Einschränkung hinzu, das dritte fügte zwei Einschränkungen hinzu und das n-te ($n\geq 4$) fügte man drei Einschränkungen hinzu. Die Gesamtzahl der Einschränkungen für$N\geq 5$Partikel ist daher$1+2+3(N-3)=3(N-2)$. Daher gibt es$3N-3(N-2)=6$Freiheitsgrade.