Verwirrung um virtuelle Verschiebungen

Stellen Sie sich eine Perle vor, die auf einer dünnen, starren Stange in der gleitet$x$-Richtung. Ein Beispiel für eine virtuelle infinitesimale Verschiebung , die mit den Einschränkungen nicht vereinbar ist, ist

Ich verstehe diesen Kommentar von Goldstein als Motivation für Lagrange-Multiplikatoren.

Tatsächlich müssen virtuelle Verschiebungen per Definition mit den Beschränkungen konsistent sein. Betrachten wir nun ein System mit$N$verallgemeinerte Koordinaten$q_k$und wenden wir das Hamilton-Prinzip an. Um die Euler-Lagrange-Gleichungen zu erhalten, müssen wir alle Variationen berücksichtigen$\delta q_k$sind willkürlich und unabhängig voneinander. Angenommen, wir haben eine Einschränkung,$f(q_1,\ldots,q_N)=0$. Dies bedeutet, dass eine der Koordinaten, sagen wir$q_N$, ist nicht mehr unabhängig und seine Variation$\delta q_N$kann nicht willkürlich sein, sondern muss mit Zwängen vereinbar sein. Um die Euler-Lagrange-Gleichung für die zu erhalten$q_N$koordinieren, müssen wir die Methode der Lagrange-Multiplikatoren verwenden. Das könnten wir natürlich vermeiden, wenn wir damit angefangen hätten$N-1$unabhängige verallgemeinerte Koordinaten.

Darüber hinaus ist der Ausdruck die virtuellen Verschiebungen in der$\delta q_k$möglicherweise nicht im Einklang mit Einschränkungen möglicherweise nicht die besten. Ich nehme an, dass er mit virtueller Verschiebung wirklich virtuelle Veränderung meint (im Sinne von Cornelius Lanczos Buch, also eine infinitesimale Veränderung in$q_k(t)$das kommt nicht von einer infinitesimalen Änderung seines Arguments, sondern von einer willkürlichen Änderung des Typs$\epsilon\phi(t)$).