Virtuelle Arbeit: Wie hängt die aufgebrachte Kraft mit den gewählten Koordinaten zusammen?

Eine allgemeine Bemerkung.

Goldstein sagt nicht, dass die angelegten Kräfte verschwinden, wenn man „in verallgemeinerte Koordinaten umwandelt“, er sagt einfach, dass die Gleichung

$$\begin{align} \sum_i \mathbf F_i^{(a)} \cdot \delta\mathbf r_i = 0 \end{align}$$ bedeutet nicht notwendigerweise, dass die aufgebrachten Kräfte Null sind. Die virtuellen infinitesimalen Verschiebungen müssen die Einschränkungen berücksichtigen, sodass die obige Gleichung nicht für alle gilt $\delta \mathbf r_i\in\mathbb R^3$, gilt sie nur für infinitesimale Verschiebungen, die die Nebenbedingungen erfüllen. Wenn es keine solchen Beschränkungen gäbe, dann würde diese Gleichung implizieren, dass die aufgebrachten Kräfte verschwinden.

Einfaches Beispiel - Partikel auf der Kugel.

Denken Sie an ein vereinfachtes Beispiel – ein einzelnes Teilchen, das gezwungen ist, sich auf der Oberfläche einer Kugel zu bewegen. In diesem Fall sind die zulässigen virtuellen infinitesimalen Verschiebungen alle tangential zur Kugel, sodass sich die obige Gleichung auf reduziert

$$\begin{align} \mathbf F^{(a)}\cdot\delta \mathbf r=0, \end{align}$$ und es kann wie folgt gelesen werden:

Das Skalarprodukt der aufgebrachten Nettokraft mit einem beliebigen Vektor, der die Kugel tangiert, ist Null.

Dies impliziert nur, dass die aufgebrachte Kraft senkrecht zur Kugeloberfläche stehen muss, es bedeutet nicht, dass sie verschwindet.

Eine andere Möglichkeit, darüber nachzudenken, wovon Goldstein spricht, wenn er sich auf die "Unabhängigkeit" von Koordinaten bezieht, ist wie folgt. Wenn sich das Teilchen auf der Kugel bewegt, genügen seine kartesischen Koordinaten

$$\begin{align} x^2 + y^2 + z^2 = R^2, \tag{sphere} \end{align}$$ Wo $R$ist der Radius der Kugel. Es folgt dem $$\begin{align} x\,\delta x + y\,\delta y + z\,\delta z = 0 \tag{$\star$} \end{align}$$ oder kürzer $$\begin{align} \mathbf r \cdot \delta \mathbf r = 0. \end{align}$$ Das bedeutet, dass die Koordinaten $x,y,z$können nicht unabhängig voneinander variiert werden, wenn sich das Teilchen auf der Kugel bewegt; tatsächlich sind sie durch die Gleichung verwandt $(\star)$. Wir können die Einschränkung jedoch "lösen". $(\mathrm{sphere})$oben durch Schreiben der kartesischen Koordinaten in Form von zwei Winkeln; $$\begin{align} x(\theta, \phi) &= R\sin\theta\cos\phi \\ y(\theta, \phi) &= R\sin\theta\sin\phi \\ z(\theta, \phi) &= R\cos\theta. \end{align}$$ Wenn wir dies tun, die beiden Koordinaten $\theta$Und $\phi$ können unabhängig voneinander variiert werden, da sie der Sphäre, der Fläche des Zwanges, „gut angepasst“ sind.

Angenommen 1 Teilchen ($i$=1) und die zueinander orthogonalen kartesischen Koordinaten ($x$,$y$,$z$), ist die aufgebrachte Kraft gegeben durch :

$${\bf F^{a}=\bf F_x^{a}+\bf F_y^{a}+\bf F_z^{a}}\tag1$$

Nun haben wir wie gegeben:

$${\bf F^{(a)}}\cdot \delta{\bf r} = 0\tag2$$

Da die Koordinaten zueinander orthogonal sind, können wir sie unabhängig voneinander variieren, was bedeutet, dass wir beispielsweise die Koordinaten rein entlang der variieren können$x$-Achse:

$${\bf \delta r}={\bf \delta x}\tag3$$

Wenn wir (1), (2) und (3) kombinieren, erhalten wir:

$${\left[\bf F_x^{a}+\bf F_y^{a}+\bf F_z^{a} \right ]}\cdot \delta{\bf x} = 0\tag4$$

was uns gibt${\bf F_x^{a}}=0$. Mit ähnlichen Überlegungen können wir zeigen, dass die$y$Und$z$Komponenten der aufgebrachten Kraft$\bf F^a$sind ebenfalls beide gleich null.

I) Vielleicht ist ein Beispiel angebracht: Stellen Sie sich einen Gardinenring an einer Gardinenstange vor .

Der Vorhangring$^1$ist gezwungen, sich entlang der zu bewegen$x$-Achse. Das System hat einen Freiheitsgrad . Die verallgemeinerte Koordinate ist$q\equiv x$. Beachten Sie insbesondere, dass die verallgemeinerte Koordinate$q$unbeschränkt ist, während die Position${\bf r}$beschränkt sich auf die$x$-Achse. Die virtuellen Verschiebungen $\delta {\bf r}=\vec{\imath}\delta q$sind daher auch entlang der$x$-Achse.

Die angewandte$^2$Gewalt

$$\tag{1} {\bf F}^{(a)}~=~-mg\vec{\jmath} ~\neq~ 0$$

auf dem Ring ist die Schwerkraft in der$y$-Richtung, die senkrecht zu der ist$x$-Richtung. Damit ist das Prinzip der virtuellen Arbeit erfüllt

$$\tag{2} {\bf F}^{(a)}\cdot \delta {\bf r} ~=~0.$$

II) Umgekehrt, da wir nicht frei variieren können$\delta {\bf r}$willkürlich in Gl. (2), das können wir nicht ableiten${\bf F}^{(a)}$ist Null. In Komponenten wird das Prinzip der virtuellen Arbeit (2) umgesetzt

$$\tag{3} F_x^{(a)} \delta q ~=~0$$

Da die verallgemeinerte Koordinate$q$unbeschränkt ist, leiten wir aus (3) ab

$$\tag{4} F_x^{(a)}~=~0.$$

Beachten Sie insbesondere, dass das Prinzip der virtuellen Arbeit (1) nichts über die anderen Kraftkomponenten aussagt$F_y^{(a)}$Und$F_z^{(a)}$. Mit anderen Worten, wir können das nur aus (2) ableiten

$$\tag{5} {\bf F}^{(a)} \perp \delta {\bf r},$$

dh das${\bf F}^{(a)}$steht senkrecht auf der$x$-Richtung.

III) Wenn Goldstein unter Gl. (1.43) sagt

Um die Koeffizienten gleich Null zu setzen, müssen wir das Prinzip in eine Form überführen, die die virtuellen Verschiebungen der$q_i$, die unabhängig sind,

er meint, dass wir (nach der Transformation) die neuen Koeffizienten gleich Null setzen können. Er meint nicht, dass wir die alten Koeffizienten gleich Null setzen können.

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$^1$Betrachten wir den Ring als Punktteilchen und ignorieren wir der Einfachheit halber die Reibung.

$^2$Zur Definition der angewandten Kraft siehe zB meine Phys.SE-Antwort hier und die darin enthaltenen Links. Die Zwangskraft auf den Ring ist die Normalkraft von der Stange, die dafür sorgt, dass der Ring nicht herunterfällt.