Lagrange-Gleichungen für nicht-holonome monogene Systeme

Question

Lagrange-Gleichungen für nicht-holonome monogene Systeme

Kräfte
Physik
klassische Mechanik
eingeschränkte Dynamik
lagrangescher Formalismus
Variationsprinzip

Kaschmir

Für monogene und einen Spezialfall von nicht-holonomen Einschränkungen, wo wir haben

\begin{matrix} (2-20) & \sum_{k} A_{l k} D Q_{k} + A_{T T} D T = 0 \end{matrix}

$\sum_{k} a_{l k} d q_{k}+a_{t t} d t=0 \tag{2-20}$ Wir verwenden Lagrange-Multiplikatoren und das Hamilton-Prinzip, um die folgende Gleichung zu erreichen:

Goldstein, 2. Auflage

$\begin{matrix} (2-29) & \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{k}} - \frac{\partial L}{\partial Q_{k}} = \sum_{l} λ_{l} A_{l k}, k = 1, 2, \dots, N . \end{matrix}$ $\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=\sum_{l} \lambda_{l} a_{l k}, \quad k=1,2, \ldots, n.\tag{2-29}$

Und er sagt weiter

Welche physikalische Bedeutung hat die $\lambda_{i}$ 'S? Angenommen, man entfernt die Beschränkungen des Systems, wendet aber stattdessen externe Kräfte an $Q_{k}^{\prime}$ so, dass die Bewegung des Systems unverändert bleibt. Die Bewegungsgleichungen würden ebenfalls gleich bleiben. Natürlich müssen diese zusätzlich aufgebrachten Kräfte gleich den Beschränkungskräften sein, denn sie sind die Kräfte, die auf das System aufgebracht werden, um die Beschränkungsbedingung zu erfüllen. Unter dem Einfluss dieser Kräfte $Q_{k}^{\prime}$ , die Bewegungsgleichungen sind
$\begin{matrix} (2-31) & \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{k}} - \frac{\partial L}{\partial Q_{k}} = Q_{k}^{'} . \end{matrix}$ $\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=Q_{k}^{\prime}.\tag{2-31}$ Diese müssen aber mit Gl. (2-29). Daher können wir uns identifizieren $\sum \lambda_{1} a_{l k}$ mit $Q_{k}^{\prime}$ , die verallgemeinerten Zwangskräfte.

Frage : Wie folgt daraus, dass "Unter dem Einfluss dieser Kräfte $Q_{k}^{\prime}$ , die Bewegungsgleichungen sind Gl. (2-31)?"

Da wir ein monogenes System haben, ist das Potential vielleicht eine Funktion der Geschwindigkeiten $V=V(r,\dot r,t)$ Ersetzen Sie daher Einschränkungen durch äquivalente Kräfte und verwenden Sie das d'Alemberts-Prinzip, das wir erhalten könnten

\frac{D}{D T} (\frac{\partial T}{\partial {\dot{Q}}_{J}}) - \frac{\partial T}{\partial Q_{J}} = Q_{J}

$\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{j}}=Q_{j}$ und nicht Gl. (2-31).

Kann bitte jemand Licht ins Dunkel bringen.

Antworten (2)

Lagrange-Gleichungen für nicht-holonome monogene Systeme

QMechaniker · Answer 1

Goldstein spricht von semi-holonomen Beschränkungen ; nicht allgemeine nicht-holonome Nebenbedingungen, wie zB Ungleichungen.
Goldsteins Behandlung von semi-holonomen Beschränkungen über ein stationäres Aktionsprinzip wurde bereits kritisiert, z. 3. und dies und diese verwandten Phys.SE-Beiträge.
Um genau zu sein, betrachten wir von nun an nur noch die 2. Auflage von Goldstein.
Wir sollten betonen, dass das Ergebnis (2-29) richtig ist. Für eine Verallgemeinerung siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag.
Man kann die Zwangskräfte berücksichtigen $\sum_{l} \lambda_{l} a_{l k}$ auf der rechten Seite von Gl. (2-29) als Beispiele für verallgemeinerte Kräfte vgl. Gl. (2-31). Dieser Punkt ist möglicherweise einer der Zweifel von OP.
Es scheint, dass Goldstein implizit und unnötigerweise annimmt, dass alle nicht einschränkenden Kräfte monogen sind , dh dass sie verallgemeinerte (möglicherweise geschwindigkeitsabhängige) Potentiale haben, vgl. Gl. (1-58).
OP scheint fälschlicherweise davon auszugehen, dass die Zwangskräfte auch monogen sind und / oder dass alle Kräfte Zwangskräfte sind. Beides ist nicht der Fall.
Zum Beweis von Gl. (2-29) müssen wir Gl. (2-23), oder allgemeiner, Gl. (1-52).
Goldstein wird nun dafür kritisiert, das Hamilton-Prinzip (2-2) anzuwenden . Das Problem ist, dass man die semi-holonomen Beschränkungen nicht einfach über Lagrange-Multiplikatoren in einem erweiterten stationären Wirkungsprinzip erzwingen kann, vgl. Punkt 2.
Wir verlassen uns stattdessen auf das Prinzip von d'Alembert (1-45). Eine geringfügige Modifikation von Gl. (2-24)-(2-28) und die umgebenden Argumente führen dann zum Ergebnis (2-29).

Verweise:

H. Goldstein, Klassische Mechanik, 2. Auflage; Abschnitt 2.4.
H. Goldstein, Klassische Mechanik, 3. Auflage; Abschnitt 2.4.
MR Flannery, Das Rätsel nichtholonomischer Beschränkungen, Am. J. Phys. 73 (2005) 265 .

Eli · Answer 2

EL mit nicht holonomen Zwangsgleichungen

\begin{aligned} du hast N_{w} nicht holonome Nebenbedingungsgleichungen \\ (1) & F_{w} = F_{w} ({\dot{Q}}_{1}, Q_{1}, \dots, {\dot{Q}}_{S}, Q_{S}) = 0, w = 1.. N_{w} \\ EL-Gleichungen mit Langrange-Multiplikator λ_{w} \\ (2) & \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{ich}} - \frac{\partial L}{\partial Q_{ich}} = \underset{Q_{ich}}{\underset{⏟}{\sum_{w = 1}^{N_{w}} A_{(ich, w)} λ_{w}}}, ich = 1.. S \\ Wo \\ A_{(w, ich)} = \frac{\partial F_{w}}{\partial {\dot{Q}}_{ich}} \end{aligned}

$\begin{align*} &\text{you have $~n_w~$non holonomic constraint equations}\\ &F_{w}=F_w({\dot{q}}_1~, q_1~,\ldots~,{\dot{q}}_s~, q_s)=0~,w=1..n_w\tag 1\\\\ &\text{EL equations with Langrange multiplier $~\lambda _w$ }\\ &\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=\underbrace{\sum_{w=1}^{n_w} a_{(i,w)}\,\lambda_w}_{Q_i}~,i=1..s\tag 2\\ &\text{where}\\ &a_{(w,i)}=\frac{\partial F_w}{\partial \dot q_i} \end{align*}$ Statt Gl. (1) und (2) Sie haben die EL mit externen Kräften aufgebracht

\begin{aligned} (3) & \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{ich}} - \frac{\partial L}{\partial Q_{ich}} = \underset{{\bar{Q}}_{ich}}{\underset{⏟}{\sum_{J = 1}^{S} \frac{\partial R_{ich}}{\partial Q_{J}} F_{J}}}, ich = 1.. S \\ Wo F_{J} sind die nicht konservativen externen Kraftkomponenten F_{J} = F_{J} (Q, \dot{Q}) \\ Und R_{ich} die Positionsvektorkomponenten \end{aligned}

$\begin{align*} &\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=\underbrace{\sum_{j=1}^{s}\frac{\partial r_i}{\partial q_j}f_j}_{\bar Q_{i}}~,i=1..s\tag 3\\ &\text{where $~f_j~$ are the non conservative external force components}~f_j=f_j(\mathbf q~,\mathbf{\dot{q}})\\ &\text{and $~r_i~$ the position vector components} \end{align*}$ Beachten Sie , dass die konservativen Kräfte gleich sind

- \frac{\partial U}{\partial q_{i}}

$-\frac{\partial U}{\partial q_i}$ wobei U die potentielle Energie ist

Gl. (3) ist gleich Gl. (1) und (2) wenn $~\bar Q_i=Q_i~$ und die Zwangsgleichung (1) erfüllt ist, schrieb Prof. Golstein ?

Der Positionsvektor r ist eine Funktion der verallgemeinerten Koordinaten $f_{i}\rightarrow \sum ^{s}_{j=1}\dfrac{\partial r_{i}}{\partial q_{j}}f_j$ Ich werde die Dokumentation aktualisieren.

Lagrange-Gleichungen für nicht-holonome monogene Systeme

Kaschmir

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QMechaniker

Kaschmir

Eli

Kaschmir

Eli

Kaschmir

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