Wie wirken sich nichtkonservative Kräfte auf Lagrange-Gleichungen aus?

Allgemeiner, Lagrange-Gleichungen$^1$lesen

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial (T-U)}{\partial \dot{q}^j}-\frac{\partial (T-U)}{\partial q^j}~=~Q_j-\frac{\partial{\cal F}}{\partial\dot{q}^j}+\sum_{\ell=1}^m\lambda^{\ell} a_{\ell j}, \qquad j~\in \{1,\ldots, n\}, \tag{L}$$

Wo

• $q^1,\ldots ,q^n,$Sind$n$ verallgemeinerte Positionskoordinaten ;

• $T$ist die kinetische Energie;

• $U$ein verallgemeinertes Potential ist;

• ${\cal F}$die Rayleigh-Dissipationsfunktion für Reibungskräfte ist;

• $Q_1,\ldots ,Q_n,$sind die restlichen Teile der verallgemeinerten Kräfte, die nicht durch das verallgemeinerte Potential beschrieben werden$U$oder die Rayleigh-Verteilungsfunktion${\cal F}$;

• $\lambda^1,\ldots ,\lambda^m$, Sind$m$ Lagrange-Multiplikatoren für$m$ semi-holonome Beschränkungen

  $$\sum_{j=1}^n a_{\ell j}(q,t)\dot{q}^j+a_{\ell t}(q,t)~=~0, \qquad \ell~\in \{1,\ldots, m\}. \tag{SHC}$$ Man denke an den letzten Term auf der rechten Seite von Gl. (L) als verallgemeinerte Zwangskräfte für die semi-holonomen Zwangsbedingungen (SHC). Alle anderen Beschränkungen werden als holonom angenommen .

Für eine Diskussion über konservative und nicht-konservative Kräfte siehe zB auch diesen Phys.SE-Beitrag.

Verweise:

1. H. Goldstein, Klassische Mechanik; Kapitel 1 & 2.

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$^1$Wir unterscheiden zwischen Lagrange-Gleichungen (L) und Euler-Lagrange-Gleichungen

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}-\frac{\partial L}{\partial q^j}~=~0, \qquad j~\in \{1,\ldots, n\}.\tag{EL}$$ Im Gegensatz zu den Lagrange-Gleichungen (L) wird bei den EL-Gleichungen per Definition immer von einem stationären Wirkungsprinzip ausgegangen . Wir sollten betonen, dass es nicht möglich ist, das Prinzip der stationären Wirkung anzuwenden, um die Lagrange-Gleichungen (L) abzuleiten, es sei denn, alle verallgemeinerten Kräfte haben verallgemeinerte Potentiale$U$. Siehe auch zB diesen und diesen Phys.SE-Beitrag.