Welche Bedeutung hat Handeln?

Die einzige wirkliche physikalische Interpretation dieser Größe findet sich in der Quantenmechanik. Dies ist die Phase eines Beitrags, der von einem Weg ausgeht$t_1$Zu$t_2$Entlang des Weges$x(t)$. Die beiden Terme sind dann relativ klar, wenn man dies potenziert, um eine Phase zu machen und die Zeit zu einem Gitter zu machen:

$$e^{i \int_{t_1}^{t_2} (T - V)} = \prod_{t_1<t<t_2} e^{i {m(x(t+\epsilon)-x(t))^2\over 2\epsilon}}e^{-i \epsilon V(x(t))}$$

Wo das Produkt über allem steht$t_1$Und$t_2$In$\epsilon$Größenschritte.

Der erste Term gibt die Phase für die freie Teilchenausbreitung an$x(t)$Zu$x(t+\epsilon)$. Der zweite Term ergibt eine zusätzliche Phasendrehung für die potentielle Energie an der Position$x(t)$. Die beiden Phasen addieren sich, und Sie addieren die Phasen über alle Pfade, um die gesamte Quantenausbreitung zu erhalten.

Der klassische Pfad ist dann der Ort, an dem die Phase stationär ist, so dass die Pfade dazu neigen, sich mit der gleichen Phase zu addieren, anstatt sich aufgrund von Interferenzen aufzuheben. Dies ist der Ort, an dem eine Variation erster Ordnung im Pfad keine Änderung der Aktion bewirkt.

Um dies zu finden, können Sie verschieben$x(t)$Zu$x(t)+\delta x(t)$, und finden Sie die führende Variante

$$e^S \int_t ( m \dot{x} {d\over dt}(\delta x) - V'(x) \delta x) dt$$

Wenn Sie den ersten Term partiell integrieren, finden Sie

$$m\ddot{x} = - V'(x)$$

oder dass das Teilchen dem Newtonschen Gesetz gehorcht. Die gleiche Ableitung funktioniert im Pfadintegral-Formalismus, um den Satz von Ehrenfest und die Heisenberg-Bewegungsgleichung zu demonstrieren. Dies liegt daran, dass das Pfadintegral unter Verschiebungen der Integrationsvariablen invariant ist$x(t)$um einen konstanten Betrag$\delta x(t)$, auch wenn diese Konstante von Zeit zu Zeit unterschiedlich ist.

Die Quantität

$$S= \int_{t_1}^{t_2} (T -V) dt$$ wird als klassische Aktion bezeichnet. Es gibt ein physikalisches Gesetz (als "Prinzip der kleinsten Wirkung" bezeichnet), das besagt, dass der wahre Weg, den ein Objekt nimmt, derjenige ist, der minimiert wird $S$.

Überprüfen Sie, ob es wahr ist. Ich werfe einen Ball gerade nach oben. Wenn der Ball meine Hand verlässt seine kinetische Energie$T$hoch ist, und da die Natur bevorzugt, das Integral zu minimieren$S$, die potentielle Energie des Balls$V$steigt schnell an, um den Integranden zu minimieren$T-V$. Das Prinzip der geringsten Wirkung erklärt also, warum Bälle hochgehen, wenn Sie sie werfen.

Also, warum fliegen nicht Baseballs in die Stratosphäre, um sie zu machen?$T-V$so klein wie möglich? Dazu bräuchten sie viel kinetische Energie! So sehr, dass es den zusätzlichen negativen Beitrag überwiegen würde$-V$. Es stellt sich heraus, dass der wahre Weg irgendwo zwischen hoch hinaus und schnell gehen liegt, was wir beobachten. (Bälle verlangsamen sich, wenn sie aufsteigen.)

Über dieses qualitative Argument hinaus kann man die Variationsrechnung verwenden , um die Newtonschen Gesetze aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung abzuleiten.