Prinzip der stationären Aktion vs. Euler-Lagrange-Gleichung

Ich bin etwas verwirrt darüber, was ich verwenden soll, um die Bewegungsgleichungen aus der Lagrange-Gleichung abzuleiten.

Angenommen, ich habe eine Lagrange-Funktion:

$$L(x(t), \dot{x}(t)) = \frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}k(\sqrt{x^2+a^2}-a)$$

Methode 1: Prinzip der kleinsten Wirkung

$$\delta L = \delta \dot{x}(m\dot{x})-\delta x \frac{kx(\sqrt{x^2+a^2}-a)}{\sqrt(x^2+a^2)}$$

$$\delta W = \int_{t_0}^{t_1} \delta L \ dt$$

Nach partieller Integration erhalte ich:

$$\delta W= -\int_{t_0}^{t_1} \delta x \biggl[m \ddot{x}+\frac{kx(\sqrt{x^2+a^2}-a)}{\sqrt(x^2+a^2)} \biggl] dt$$

für stationäre Punkte,$\delta W = 0$

Also innerhalb des Integrals

$$m\ddot{x}+\frac{kx(\sqrt{x^2+a^2}-a)}{\sqrt(x^2+a^2)} = 0$$

und das ist die Bewegungsgleichung.

Methode 2: Euler-Lagrange-Gleichung

Alternativ können wir die Euler-Lagrange-Gleichung betrachten:

$$\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\biggl(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \biggl) = 0$$

Durch Substitution$L$in die Euler-Lagrange-Gleichung erhalten wir die gleiche Bewegungsgleichung:

$$m\ddot{x}+\frac{kx(\sqrt{x^2+a^2}-a)}{\sqrt(x^2+a^2)} = 0$$

Methode 2 ist also viel einfacher als Methode 1, aber warum kommen wir zu derselben Antwort? Ich habe eine Vermutung, dass beide Methoden im Wesentlichen dasselbe berechnen, aber ich bin mir nicht sicher, ob diese Vermutung richtig ist, da die Euler-Lagrange-Gleichungen im Vergleich zum Prinzip der kleinsten Wirkung etwas zu einfach erscheinen. Gibt es etwas, das ich hier vermisse?