Zeitabhängigkeit der Lagrangefunktion eines freien Teilchens?

I) Im Lagrange$L(q(t),\dot{q}(t),t)$, muss zwischen impliziter Zeitabhängigkeit über die Variablen unterschieden werden$q(t)$Und$\dot{q}(t)$, und explizite Zeitabhängigkeit.$^1$

Allerdings ist die implizite Zeitabhängigkeit in der Lagrange-Funktion$L$macht nur im Zusammenhang mit einem festen (aber beliebigen, möglicherweise virtuellen) Pfad Sinn

$$\tag{1} [t_i,t_f]~\stackrel{q}{\longrightarrow}~\mathbb{R}^n.$$ Die implizite Zeitabhängigkeit wäre für einen anderen Pfad typischerweise anders.

II) Tatsächlich ist ein (möglicherweise virtueller) Pfad (1) technisch gesehen nicht die Eingabe für eine Lagrange-Funktion$L$. Eher der Lagrange

$$\tag{2} \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\times [t_i,t_f]~\stackrel{L}{\longrightarrow}~\mathbb{R}$$ ist eine Funktion $$\tag{3} (q,v,t)~\mapsto~ L(q,v,t)$$ (im Gegensatz zu einer funktionalen), die nur von abhängt

1. einen Augenblick$t\in[t_i,t_f]$,

2. eine momentane Position$^2$ $q\in\mathbb{R}^n$, Und

3. eine momentane Geschwindigkeit$v\in\mathbb{R}^n$;

nicht die Vergangenheit, noch die Zukunft.

Beachten Sie, dass wir hier das Symbol verwenden$v$eher als die Notation$\dot{q}\equiv \frac{dq}{dt}$. Dies liegt an der Fähigkeit zur Differenzierung$\frac{dq}{dt}$würde implizieren, dass wir (mindestens einen Abschnitt davon) einen Pfad (1) kennen und nicht nur Informationen über einen momentanen Zustand$(q,v,t)$vom System.

III) Im Gegensatz dazu die Aktion

$$\tag{4} S[q] ~:=~ \int_{t_i}^{t_f}dt \ L(q(t),\dot{q}(t),t)$$ ist eine Funktion (im Gegensatz zu einer Funktion), die von einem (möglicherweise virtuellen) Pfad (1) abhängt.

Für weitere Details, wie zB eine Erklärung, wie Variationsrechnung funktioniert, warum$q$Und$v$sind unabhängige Variablen in der Lagrange-Funktion (3), aber abhängige Variablen in der Aktion (4) usw.; siehe zB diesen verwandten Phys.SE-Beitrag und die darin enthaltenen Links.

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$^1$Übrigens, wenn die Lagrange$L(q,v)$keine explizite Zeitabhängigkeit hat, dann die Energie

$$\tag{5} h(q,v)~:=~v^i \frac{\partial L(q,v)}{\partial v^i}-L(q,v)$$ bleibt erhalten, vgl. Satz von Noether .

$^2$Hier$q\in\mathbb{R}^n$bezeichnet ein$n$-Tupel, im Gegensatz zu Gl. (1) wo$q$bezeichnet einen Weg/eine Kurve.

Stellen Sie sich ein Aktionsprinzip als eine abstrakte Abbildung von Trajektorien vor$\mathbf r = (\vec r(t), t_0, t_1)$zu irgendeiner Zahl$S(\mathbf r)$die nicht mehr explizit zeitabhängig ist.

Jetzt kann die Aktion manchmal aus einer anderen Funktion berechnet werden. Die andere Funktion hat nur eine Reihe von Parametern , die wir aufrufen können$\{\alpha_i\}, ~ \{\beta_i\}, ~ \tau$. Aus Sicht dieser Funktion sind das nur Zahlen.

Wir sagen, dass diese Funktion eine Lagrange-Funktion ist, wenn wir die Wirkung daraus berechnen, indem wir ein Zeitintegral machen:

$S(\mathbf r) = \int_{t_0}^{t_1} dt~ L(\{\alpha_i = r_i(t)\}, ~ \{\beta_i = \dot r_i(t)\},~ \tau = t)$

Mit anderen Worten, die Funktion „kennt“ die Physik noch nicht; Die Physik ist vom Prinzip der kleinsten Wirkung durchdrungen . Der Lagrangian ist nur eine Funktion, die eine Reihe von Variablen nimmt und eine Zahl erzeugt. Sicher, wenn Sie "wissen", dass dieses Zeitintegral durchgeführt wird, können Sie diese Funktion auf die Flugbahn eines echten Teilchens anwenden und dann würden Sie feststellen, dass sie zeitabhängig ist, aber für sich genommen ist es nur eine Funktion, die von der Aktion verwendet wird Prinzip für alle Trajektorien , um ihre Wirkung zu berechnen.

Wenn wir also überspringen, die Parameter als zu schreiben$\{\alpha_i\}, ~ \{\beta_i\}, ~ \tau$und schreibe sie stattdessen als$\{r_i\}, ~ \{v_i\}, ~ t$Das ist nur, dass wir diese Symbole als Namen für die Zahlen wiederverwenden, die wir schließlich in die Funktion einfügen werden. Dieses „Wortspiel“ (wie die Programmiersprache Haskell es nennt) ist zunächst etwas verwirrend, aber es hilft uns, uns daran zu erinnern, was was war, wenn wir später die Werte ersetzen.

Sie sagen : "Wenn wir die Aktion als Integral des Lagrange für eine wackelige Flugbahn berechnen, ist die Geschwindigkeit offensichtlich zeitabhängig und der Lagrange auch . "

Wie genau ist die Geschwindigkeit von der Zeit abhängig? Bevor wir das Prinzip der kleinsten Wirkung anwenden und die Flugbahn des Objekts finden, haben wir eine Lagrange-Funktion, die von der Geschwindigkeit (durch den Begriff der kinetischen Energie) und der Position und (schließlich) der Zeit (durch die potentielle Energie) abhängt. Wir haben keine Ahnung, wie die Geschwindigkeit von der Zeit abhängt. Es gibt ein Kontinuum von Formen von Abhängigkeiten, weil es ein Kontinuum von Formen von Trajektorien gibt, denen das Objekt prinzipiell folgen kann. Aus diesem Grund nehmen wir vor der Minimierung der Aktion die Geschwindigkeit als eine Variable in sich in die Lagrange-Funktion ein.

Wir kennen die Flugbahn nicht , bevor wir die Aktion minimieren, da wir keine Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Zeit haben.