Aktionsprinzip und funktionelles Derivat in CM

Question

Aktionsprinzip und funktionelles Derivat in CM

Aktion
Physik
klassische Mechanik
lagrangescher Formalismus
Variationsrechnung
Variationsprinzip

Saidur Rahman

Ich möchte diese altbekannte Aktion auf die Spitze treiben.

S [ϕ] = \int L (ϕ (T), \dot{ϕ} (T)) D T

$S[\phi]=\int \mathcal{L}(\phi(t),\dot{\phi}(t)) dt$ Auch das Ergebnis ist bekannt. Es stellt sich heraus, dass es sich um eine EL-Gleichung handelt. Das Aktionsprinzip besagt, dass die funktionale Variation oder Aktionsvariation für eine bestimmte Person Null sein sollte

ϕ

$\phi$ dh,

δ S = 0

$\delta S=0$ Also zum Variieren

ϕ

$\phi$ , Darf ich daran denken

ϕ

$\phi$ parametrisiert durch

λ

$\lambda$ wie

ϕ ⟼ ϕ_{λ} (t)

$\phi \longmapsto \phi_{\lambda}(t)$ und variieren Sie die Aktion damit für unterschiedliche

λ

$\lambda$ anders

ϕ

$\phi$ beauftragt ist, welche zu überprüfen

ϕ

$\phi$ Extremisiert die Aktion? Auch der Ausdruck von

δ S

$\delta S$ . Ist nicht

δ S = \frac{D S}{D λ}

$\delta S=\frac{dS}{d \lambda}$ in diesem Fall gefolgt von

δ L = \frac{D L}{D λ}

$\delta \mathcal{L}=\frac{d \mathcal{L}}{d \lambda}$ Und

δ ϕ = \frac{D ϕ}{D λ} ?

$\delta \phi=\frac{d \phi}{d \lambda}~?$

Eine andere Frage ist - Was wäre die Notation, die die funktionale Ableitung von darstellt $S[\phi]$ ? Obwohl ich weiß, dass es etwas ist, das im Integranden und nach der Berechnung liegt $\delta \mathcal{L}$ Wir können einen Ausdruck dafür wie unten erhalten.

\frac{\partial L}{\partial ϕ} - \frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ}})

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}- \frac{d}{dt}(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}})$

Saidur Rahman

@Qmechanic- Ich habe den Beitrag korrigiert. Entschuldigung für die falsche Schreibweise.

λ

$\lambda$ hätte als Index angegeben werden sollen. Ich meinte eigentlich

ϕ

$\phi$ ist eine Funktion von

t

$t$ . Und

ϕ_{λ} (t)

$\phi_{\lambda}(t)$ bezeichnet eine Familie von

ϕ (t)

$\phi(t)$ 'S.

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@Qmechanic- Ich habe den Beitrag korrigiert. Entschuldigung für die falsche Schreibweise. $\lambda$ hätte als Index angegeben werden sollen. Ich meinte eigentlich $\phi$ ist eine Funktion von $t$ . Und $\phi_{\lambda}(t)$ bezeichnet eine Familie von $\phi(t)$ 'S.

Javier · Answer 1

Was die Definition angeht, hast du eigentlich Recht. Man kann eine Richtungsfunktionsableitung wie folgt definieren.

Gegeben ein funktionales $S$ , eine Funktion $\phi_0$ (der "Punkt") und eine Funktion $\alpha$ (die "Richtung"), können wir die Familie der Funktionen betrachten $\phi_\epsilon = \phi_0 + \epsilon \alpha$ . Dann $S[\phi_\epsilon]$ ist nur eine reguläre Funktion von $\epsilon$ , und wir definieren die funktionale Ableitung von $S$ bei $\phi_0$ in der Richtung von $\alpha$ als

\frac{D}{D ϵ} S [ϕ_{0} + ϵ a] |_{ϵ = 0} .

$\frac{d}{d\epsilon}S[\phi_0 + \epsilon \alpha]\big|_{\epsilon=0}.$

Wir sagen, dass die funktionale Ableitung von $S$ bei $\phi_0$ ist null, wenn obiges für alle verschwindet $\alpha$ . Das Problem ist, dass Sie alle möglichen Funktionen überprüfen müssen, um tatsächlich zu überprüfen, ob die Ableitung Null ist $\alpha$ , was eindeutig nicht sehr praktisch ist. Deshalb gibt es eine andere, sehr eng verwandte Definition: Wir sagen das $S$ ist differenzierbar, wenn wir das haben

S [ϕ_{0} + a] = S [ϕ_{0}] + F [a] + Ö (a^{2}),

$S[\phi_0 + \alpha] = S[\phi_0] + F[\alpha] + \mathcal{O}(\alpha^2),$

Wo $F$ ist eine lineare Funktion und $\mathcal{O}(\alpha^2)$ geht quadratisch auf Null als $\alpha$ und seine Ableitung gehen einheitlich gegen Null (siehe Arnolds Mathematical Methods of Classical Mechanics ). Wenn wir Glück haben, und in der Physik haben wir oft Glück, können wir das Funktional schreiben $F$ als

F [a] = \int F (T) a (T) D T,

$F[\alpha] = \int f(t) \alpha(t)\, dt,$

(vergiss das nicht $F$ Und $f$ darauf ankommen $\phi_0$ ) und wir rufen an $f$ die funktionelle Ableitung von $S$ . $F[\alpha]$ habe ich oben die Richtungsableitung genannt; der Vorteil dieser Definition ist, dass sich alles auf die einzelne Funktion reduziert $f$ .

PhysikMan · Answer 2

In deiner Notation $\phi$ ist bereits durch parametriert $t$ , Sie können es umbenennen $\phi(t)\rightarrow\phi(\lambda)$ aber dies sind nur Etiketten und daher nicht signifikant, wofür wir sie wählen. Deine Intuition ist richtig, du musst das finden $\phi(t)$ das macht die Aktion extrem.

Die Ableitung des Funktionals $\delta S$ bedeutet die Gesamtableitung

$\delta S = \displaystyle\int\delta\mathcal{L}(\phi(t),\dot{\phi}(t))dt=\int\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\frac{d\phi}{dt}+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\frac{d\dot{\phi}}{dt}\right)dt$

Wo ich die Kettenregel verwendet habe.

Okay. Ich habe den Beitrag korrigiert. $\lambda$ hätte als Index angegeben werden sollen. Ich meinte es nicht anstelle von $t$ .
Angeben $\phi$ mit Etikett $\phi\rightarrow\phi_{\lambda}$ wieder ist nicht sehr aussagekräftig, Sie ändern nur den "Namen" der Funktion. Was genau sind die Unterschiede zw $\phi_{\lambda}$ ? Das Aktionsprinzip besagt, dass es eine gewisse Flugbahn in der Zeit gibt $\phi(t)$ dass ein Teilchen folgen wird und diese Flugbahn diejenige ist, die die Aktion minimiert. $\phi(t)$ kapselt bereits alle möglichen Flugbahnen in der Zeit ein, man weiß nur nicht welche. Indem Sie die Aktion minimieren, erhalten Sie die Einschränkungen (Euler-Lagrange-Gleichungen), die Ihnen helfen, die richtige Trajektorie zu finden.
Also schätze ich mit $\lambda$ hier ist überflüssig. Entfernen Sie dann diese Redundanz $\delta S = \frac{dS}{dt}$ Und $\delta \mathcal{L}$ , $\delta \phi$ nehmen auch die gleiche Form an. Ist es nicht?
Ja, wenn Sie diesem Rezept folgen, gelangen Sie zu den EL-Gleichungen.
Okay. Es gibt ein paar Dinge, über die ich klar sein muss. Warum rufst du an $\delta S$ das funktionale Derivat? Es ist eine Variation des Funktionalen. Die Ableitung sollte in Bezug auf sein $\phi$ !! Und was wäre in diesem Fall die Notation der funktionalen Ableitung?

Aktionsprinzip und funktionelles Derivat in CM

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Javier

PhysikMan

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