Ist es möglich, dass das Aktions-SSS *keinen* stationären Punkt hat?

Wir wissen, dass die Wirkung einen stationären Wert haben muss, wenn die Euler-Lagrange-Gleichung gilt. Die Euler-Lagrange-Gleichung ist

Wenn wir nehmen$L$sein$L=T-V$für kinetische Energie$K=\frac12mv^2=\frac12m\dot x^2$und potentielle Energie$V=V(x)$dann haben wir

Und so landen wir beim zweiten Newtonschen Gesetz$F=ma$

Wenn wir also wollen, dass die Newtonschen Gesetze gelten$^*$, müssen wir auch haben, dass die Euler-Lagrange-Gleichung für unsere Lagrange-Funktion gilt$L=T-V$, was bedeutet, dass es einen stationären Punkt für unser Handeln geben muss.

Mit anderen Worten, wenn wir keinen stationären Punkt haben, haben wir es nicht mit physikalisch realisierbaren Trajektorien zu tun.

$^*$Natürlich liegt der Vorteil der Verwendung der Lagrange- oder Hamilton-Mechanik darin, dass wir mehr Freiheit bei der Verwendung verallgemeinerter Koordinaten haben, anstatt nur räumliche Koordinaten zu berücksichtigen, aber das bedeutet immer noch nicht, dass wir die Newtonschen Gesetze über Bord werfen.

1. Ein generisches Funktional muss keine stationären Punkte haben. Als elementares (wenn auch zugegebenermaßen etwas künstliches) Beispiel nehme man zB eine Lagrange-Funktion$^{\dagger}$

   $$L=F_{\rm ext}y, \qquad F_{\rm ext}~\equiv~{\rm constant}~\neq~ 0,$$ für ein einheitliches äußeres Kraftfeld$F_{\rm ext}$. Es hat keinen stationären Punkt. Die entsprechende Lagrange-Gleichung$F_{\rm ext}=0$ist nie zufrieden und hat keine stationären Lösungen. Dies gilt auch dann, wenn wir beispielsweise Dirichlet-Randbedingungen aufstellen$y(t_i)=0=y(t_f)$.

2. Natürlich, wenn wir davon ausgehen, dass die Aktion$S$implementiert Newtons 2. Gesetz in ein wohlgestelltes physikalisches Problem, dann sollte es einen stationären Punkt haben.

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$^{\dagger}$Stellen Sie sich zB vor, dass es keine Zeit gibt, dh wir untersuchen das statische Problem, oder dass wir die ideale Grenze der verschwindenden Masse betrachten$m= 0$und damit verschwindende kinetische Energie$\frac{1}{2}m\dot{y}^2= 0$.

Ein Modell wird durch ein System von Gleichungen, den Bewegungsgleichungen, definiert, die angeben, wie sich die verschiedenen Spieler verhalten dürfen. Das ganze System von Bewegungsgleichungen kann oft in einer einzigen Gleichung kodiert werden$\delta S=0$, Wo$S$ist das Integral eines geeignet gewählten Lagrangians$L$. Dies ist normalerweise das, was wir mit "der Aktion" für ein bestimmtes System meinen.

Wenn die Aktion keine stationären Punkte hat, ist sie nicht nützlich, um das Verhalten eines Systems auf diese Weise zu beschreiben. Umgekehrt, wenn wir ein System haben, dessen Bewegungsgleichungen in der Form kodiert werden können$\delta S=0$, dann hat die Aktion per Definition alle stationären Punkte, die wir brauchen, um das Verhalten dieses Systems zu beschreiben. Von allen Verhaltensweisen, die wir uns vorstellen können, nur diejenigen, die befriedigen$\delta S=0$sind eigentlich erlaubt.

Das Hamiltonsche Prinzip geht implizit davon aus, dass es sich um ein System handelt, dessen Bewegungsgleichungen in der Form kodiert werden können$\delta S=0$und das der Lagrange$L$wurde ausgewählt, um diese Codierung zu implementieren. Nur Verhaltensweisen, die befriedigen$\delta S=0$sind erlaubt. Andere Verhaltensweisen werden nicht auftreten. Wenn „das Teilchen bewegt sich nicht“ ein zulässiges Verhalten ist, erfüllt dieses Verhalten die Bedingung$\delta S=0$; es wird einer der stationären Punkte der Handlung sein.