Schwingers Variation der Wirkung von Punktteilchen mit *sowohl Zeit als auch Position als unabhängige Variablen

Question

Schwingers Variation der Wirkung von Punktteilchen mit *sowohl Zeit als auch Position als unabhängige Variablen

Aktion
Physik
klassische Mechanik
lagrangescher Formalismus
Variationsrechnung
Variationsprinzip

GodotMisogi

In Kapitel 8, Seiten 86-87, Gleichungen (8.5)-(8.11) von Julian Schwinger et al., Classical Electrodynamics , werden auf unkonventionelle Weise die Bewegungsgleichungen für das folgende Wirkungsprinzip eines Punktteilchens in einem äußeren Potential hergeleitet , von dem, was ich gesehen habe.

Die Aktion wird wie folgt angegeben:

\begin{matrix} (8.10) & W_{12} = \int_{2}^{1} [\frac{1}{2} M \frac{(D R)^{2}}{D T} - D T v (R, T)] \end{matrix}

$W_{12} = \int_2^1 \left[\frac{1}{2}m\frac{(\mathrm d\bf r)^2}{\mathrm dt} - \mathrm dt\, V(\mathbf r,t)\right]\tag{8.10}$

mit den Variationen an

\begin{matrix} (8.5) & R (T) \to R (T) + δ R (T) \end{matrix}

$\mathbf r(t) \to \mathbf r(t) + \delta\mathbf r(t)\tag{8.5}$ Und

\begin{matrix} (8.6) & T \to T + δ T (T), \end{matrix}

$t \to t + \delta t(t),\tag{8.6}$ so dass an den Endpunkten

\begin{matrix} (8.7) & δ T (T_{1}) = δ T_{1}, δ T (T_{2}) = δ T_{2}, \end{matrix}

$\delta t(t_1) = \delta t_1, \qquad \delta t(t_2) = \delta t_2,\tag{8.7}$ damit die Integrationsgrenzen nicht verändert werden. Die Zeit ist also eine Funktion des Parameters Zeit

t

$t$ (was ich annehme ist Notationsmissbrauch). Dies unterscheidet sich von der üblichen Vorgehensweise, bei der

r

$\mathbf r$ Und

\dot{r}

$\dot{\mathbf r}$ werden als unabhängige Variablen betrachtet und entsprechend variiert.

Die entsprechenden Änderungen in der Zeitdifferenz und der Zeitableitung sind:

\begin{matrix} (8.8) & D T \to D (T + δ T) = (1 + \frac{D δ T}{D T}) D T, \end{matrix}

$\mathrm dt \to d(t+\delta t) = \left(1 + \frac{\mathrm d\delta t}{\mathrm d t}\right)\mathrm dt,\tag{8.8}$

\begin{matrix} (8.9) & \frac{D}{D T} \to (1 - \frac{D δ T}{D T}) \frac{D}{D T} . \end{matrix}

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \to \left(1 - \frac{\mathrm d \delta t}{\mathrm d t}\right)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}.\tag{8.9}$

Anschließend wird folgende Variante vorgestellt:

\begin{matrix} (8.11) & δ W_{12} = \int_{2}^{1} D T {M \frac{D R}{D T} \cdot \frac{D}{D T} δ R - δ R \cdot \nabla v - \frac{D δ T}{D T} [\frac{1}{2} M {(\frac{D R}{D T})}^{2} + v] - δ T \frac{\partial}{\partial T} v} . \end{matrix}

$\delta W_{12} = \int^1_2 \mathrm dt\left\{m\frac{\mathrm d\bf r}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\delta\mathbf r - \delta\mathbf r \cdot \nabla V - \frac{\mathrm d\delta t}{\mathrm dt}\left[\frac{1}{2}m\left(\frac{\mathrm d\bf r}{\mathrm dt}\right)^2 + V \right] - \delta t \frac{\partial}{\partial t}V\right\}. \tag{8.11}$

Ich habe versucht herauszufinden, wie ich das herleiten kann, bin aber immer wieder beim ersten Schritt selbst hängen geblieben. Hier sind einige Möglichkeiten, die ich in Betracht gezogen habe:

Beginnen Sie mit der als Integral über die Lagrangefunktion definierten Variation der Aktion und variieren Sie sinnvoll:

$δ W_{12} = δ (\int_{2}^{1} L (R, \dot{R}, T)) = \int_{2}^{1} [δ L D T + L δ (D T)]$ $\delta W_{12} = \delta \left(\int_2^1 L(\mathbf r, \dot{\mathbf r}, t)\right) = \int^1_2 \left[\delta L\,\mathrm dt + L\,\delta(\mathrm dt)\right]$

Behandeln Sie die Variation als "Transformation", dh ersetzen Sie die transformierten Parameter in der Lagrange-Funktion:

$\int_{2}^{1} L [R + δ R, (1 - \frac{D δ T}{D T}) \frac{D}{D T} (R + δ R (T)), T + δ T] [1 + \frac{D δ T}{D T}] D T$ $\int_2^1 L\left[\mathbf r + \delta\mathbf r, \left(1 - \frac{\mathrm d\delta t}{\mathrm dt}\right)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\mathbf r + \delta\mathbf r(t)\right), t + \delta t\right]\left[1 + \frac{\mathrm d\delta t}{\mathrm dt}\right]\mathrm dt$

Betrachten Sie die Variation des kinetischen Energieterms des freien Teilchens, was aus meiner Sicht zu folgendem Ausdruck führt:

$\begin{aligned} δ {(\frac{D R}{D T})}^{2} & = 2 (\frac{D R}{D T}) [δ (\frac{D}{D T}) R + \frac{D}{D T} δ R] \\ = 2 (\frac{D R}{D T}) [(1 - \frac{D δ T}{D T}) \frac{D R}{D T} + \frac{D}{D T} δ R] \end{aligned}$ $\begin{align*} \delta\left(\frac{\mathrm d\mathbf r}{\mathrm dt}\right)^2 & = 2\left(\frac{\mathrm d\mathbf r}{\mathrm dt}\right)\left[\delta\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right)\mathbf r + \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\delta\mathbf r\right] \\ & = 2\left(\frac{\mathrm d\mathbf r}{\mathrm dt}\right)\left[\left(1-\frac{\mathrm d\delta t}{\mathrm dt}\right)\frac{\mathrm d\mathbf r}{\mathrm dt} + \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\delta\mathbf r\right] \end{align*}$

Nach der üblichen Taylor-Entwicklung bis zur ersten Ordnung kann ich keine davon sehen, die zu der im Buch angegebenen Variation führt. Welche Methode ist ggf. richtig? Ich bin mir auch nicht sicher, ob 3. richtig ist.

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Schwingers Variation der Wirkung von Punktteilchen mit *sowohl Zeit als auch Position als unabhängige Variablen

QMechaniker · Answer 1

Hier ist vielleicht ein klarerer Ansatz. OP erwähnt im Wesentlichen bereits, dass Schwinger et al. ermöglichen Zeitumparametrierungen in einem festen Parameterintervall

\begin{matrix} (A) & [λ_{ich}, λ_{F}] ∋ λ \mapsto X^{μ} (λ) \in R^{4}, X \equiv R \circ T, X^{0} \equiv T . \end{matrix}

$[\lambda_i,\lambda_f]~\ni~\lambda~~\mapsto ~~x^{\mu}(\lambda)~\in~\mathbb{R}^4, \qquad {\bf x}~\equiv~{\bf r}\circ t, \qquad x^0~\equiv~t.\tag{A}$

Die Aktion ist

\begin{matrix} (B) & S [X^{μ}] = \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T L = \int_{λ_{ich}}^{λ_{F}} D λ \dot{T} L, L = L (X^{μ}, v), v := \frac{D R}{D T} = \frac{\dot{X}}{\dot{T}}, \end{matrix}

$S[x^{\mu}]~=~\int_{t_i}^{t_f} \!dt ~L~=~\int_{\lambda_i}^{\lambda_f} \!d\lambda ~\dot{t}L, \qquad L~=~L(x^{\mu},{\bf v}), \qquad {\bf v} ~:=~\frac{d{\bf r}}{d t}~=~\frac{\dot{\bf x}}{\dot{t}},\tag{B}$

wobei Punkt bedeutet Differenzierung bzgl. $\lambda$ . Definiere Impuls und Energie als

\begin{matrix} (C) & P := \frac{\partial L}{\partial v} Und H := v \cdot P - L . \end{matrix}

${\bf p}~:=~\frac{\partial L}{\partial {\bf v}}\qquad\text{and}\qquad h~:=~{\bf v}\cdot{\bf p}-L .\tag{C}$

Unendliche Variation der Aktionserträge

δ S := S [X^{' μ}] - S [X^{μ}] = \dots = \int_{λ_{ich}}^{λ_{F}} D λ \sum_{μ = 0}^{3} \frac{δ S}{δ X^{μ}} δ X^{μ} + {[\sum_{μ = 0}^{3} \frac{\partial [\dot{T} L]}{\partial {\dot{X}}^{μ}} δ X^{μ}]}_{λ = λ_{ich}}^{λ = λ_{F}}

$\delta S ~:=~S[x^{\prime \mu}]- S[x^{\mu}] ~=~\ldots~=~\int_{\lambda_i}^{\lambda_f} \!d\lambda \sum_{\mu=0}^3\frac{\delta S}{\delta x^{\mu}}\delta x^{\mu} + \left[\sum_{\mu=0}^3\frac{\partial [\dot{t}L]}{\partial \dot{x}^\mu}\delta x^{\mu} \right]_{\lambda=\lambda_i}^{\lambda=\lambda_f}$

\begin{matrix} (D) & = \dots = \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T (\frac{\partial L}{\partial R} - \frac{D P}{D T}) \cdot δ R + \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T (\frac{\partial L}{\partial T} + \frac{D H}{D T}) \cdot δ T + {[P \cdot δ R - H δ T]}_{T = T_{ich}}^{T = T_{F}}, \end{matrix}

$~=~\ldots~=~\int_{t_i}^{t_f} \!dt\left(\frac{\partial L}{\partial {\bf r}}-\frac{d{\bf p}}{dt}\right)\cdot \delta {\bf r} + \int_{t_i}^{t_f} \!dt\left(\frac{\partial L}{\partial t}+\frac{dh}{dt}\right)\cdot \delta t + \left[{\bf p}\cdot\delta{\bf r} -h \delta t\right]_{t=t_i}^{t=t_f}, \tag{D}$ was dem letzten Ausdruck in Gl. (8.11).

Ah, das macht die Sache allgemein viel klarer. Vielen Dank für die großartige Antwort, aber ich würde gerne wissen, wie ich die Transformationen des Differentials und der Ableitung direkt in die Aktion einbeziehen kann, wie es im Buch der Fall ist, um das Ergebnis zu erhalten. Insbesondere bin ich neugierig, welche Schritte aus meiner Frage gegebenenfalls logisch richtig sind.

Schwingers Variation der Wirkung von Punktteilchen mit *sowohl Zeit als auch Position als unabhängige Variablen

GodotMisogi

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QMechaniker

GodotMisogi

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