Variationsrechnung -- wie macht es Sinn, die Position und die Geschwindigkeit unabhängig voneinander zu variieren?

Anders als Ihre Frage vermuten lässt, ist es nicht wahr, dass die Geschwindigkeit unabhängig von der Position variiert wird. Eine Variation der Position$q \mapsto q + \delta q$führt zu einer Geschwindigkeitsänderung$\partial_t q \mapsto \partial_t q + \partial_t (\delta q)$wie Sie es erwarten würden.

Das einzige, was seltsam erscheinen mag, ist das$q$und$\partial_t q$werden als unabhängige Variablen der Lagrange-Funktion behandelt$L(q,\partial_t q)$. Aber das ist nicht überraschend; Denn wenn Sie fragen: "Was ist die kinetische Energie eines Teilchens?", dann reicht es nicht aus, die Position des Teilchens zu kennen, Sie müssen auch seine Geschwindigkeit kennen, um diese Frage zu beantworten.

Anders ausgedrückt, Sie können Position und Geschwindigkeit unabhängig voneinander als Anfangsbedingungen wählen , deshalb behandelt die Lagrange-Funktion sie als unabhängig; aber die Variationsrechnung variiert sie nicht unabhängig voneinander , eine Variation der Position induziert eine passende Variation der Geschwindigkeit.

Die Antwort auf Ihre Hauptfrage ist bereits gegeben - Sie variieren Koordinaten und Geschwindigkeit nicht unabhängig voneinander. Aber es scheint, dass Ihr Hauptproblem darin besteht, Koordinaten und Geschwindigkeit als unabhängige Variablen zu verwenden.

Lassen Sie mich auf dieses großartige Buch verweisen: "Applied Differential Geometry". Von William L. Burke . Die allererste Zeile des Buches (wo ein Autor normalerweise sagt, wem dieses Buch gewidmet ist) lautet:

Es ist wahr, dass Studenten diese Frage von Zeit zu Zeit stellen. Aber Versuche, es "von oben nach unten" zu erklären, führen normalerweise nur zu immer mehr Fragen. Man muss das Thema wirklich mathematisch "von unten nach oben" ordnen. Nun, wie der Name des Buches andeutet – die mathematische Disziplin, die man braucht, ist die Differentialgeometrie .

Ich kann nicht alle Details nacherzählen, aber in Kürze sieht es so aus:

• Sie beginnen mit einem Konfigurationsraum$M$Ihres Systems.$M$ist eine (differenzierbare) Mannigfaltigkeit , und$q$sind die Koordinaten auf dieser Mannigfaltigkeit.
• Dann gibt es ein spezielles Verfahren, mit dem Sie alle möglichen "Geschwindigkeiten" an jedem bestimmten Punkt hinzufügen können$M$. Und Sie gelangen zum Tangentenbündel $TM$, die ebenfalls eine Mannigfaltigkeit ist, und ($q$,$\dot{q}$) sind verschiedene Koordinaten darauf.
• Lagrange ist eine Funktion an$TM$.

In Anbetracht dessen, was Greg Graviton geschrieben hat, werde ich die Herleitung aufschreiben und sehen, ob ich daraus einen Sinn machen kann.

wobei S die Aktion und L die Lagrange-Funktion ist. Wir variieren den Pfad und finden das Extremum der Wirkung:

Hier, q und$\dot q$werden unabhängig voneinander variiert. Aber dann verwenden wir im nächsten Schritt diese Identität,

Und hier ist, wo die Beziehung zwischen q und$\dot q$kommt ins Bild. Ich denke, was hier passiert, ist, dass q und$\dot q$zunächst als unabhängig behandelt werden, dann aber die Unabhängigkeit durch die Identität aufgehoben wird.

Und dann folgt der Rest der Ableitung. Den zweiten Term integrieren wir partiell:

und der Ausdruck in Klammern ist Null, weil die Endpunkte fest gehalten werden. Und dann können wir die Euler-Lagrange-Gleichung herausziehen:

Jetzt ergibt es für mich mehr Sinn. Sie beginnen damit, die Variablen als unabhängig zu behandeln, entfernen dann aber die Unabhängigkeit, indem Sie während der Ableitung eine Bedingung auferlegen.

Ich denke, das macht Sinn. Ich gehe davon aus, dass im Allgemeinen andere Probleme auf die gleiche Weise behandelt werden können.

(Ich habe die obigen Gleichungen aus Mechanics von Landau und Lifshitz kopiert.)

Hier ist meine Antwort, die im Grunde eine erweiterte Version von Greg Gravitons Antwort ist.

Die Frage, warum man Position und Geschwindigkeit als unabhängige Variablen behandeln kann, stellt sich bei der Definition der Lagrange -Funktion$L$selbst, bevor man die Bewegungsgleichung anwendet und bevor man daran denkt, die Aktion zu variieren$S:=\int_{t_i}^{t_f}\mathrm{d}t \ L$, und hat daher nichts mit Variationsrechnung zu tun.

I) Betrachten wir einerseits zunächst die Rolle der Lagrange-Funktion. Gegeben sei ein willkürlicher, aber fester Zeitpunkt$t_0\in [t_i,t_f]$. Die (momentane) Lagrange-Funktion$L(q(t_0),v(t_0),t_0)$ist eine Funktion sowohl der momentanen Position$q(t_0)$und die Momentangeschwindigkeit$v(t_0)$im Augenblick$t_0$. Hier$q(t_0)$und$v(t_0)$sind unabhängige Variablen. Beachten Sie, dass die (momentane) Lagrange-Funktion$L(q(t_0),v(t_0),t_0)$hängt nicht von der Vergangenheit ab$t<t_0$noch die Zukunft$t>t_0$. (Man mag einwenden, dass das Geschwindigkeitsprofil$\dot{q}\equiv\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}:[t_i,t_f]\to\mathbb{R}$ist die Ableitung des Positionsprofils$q:[t_i,t_f]\to\mathbb{R}$, also wie kann$q(t_0)$und$v(t_0)$wirklich unabhängige Variablen sein? Der Punkt ist, dass, da die Bewegungsgleichung von 2. Ordnung ist, man immer noch berechtigt ist, 2 unabhängige Wahlen von Anfangsbedingungen zu treffen: 1 Anfangsposition und 1 Anfangsgeschwindigkeit.) Wir können dieses Argument für jeden anderen Zeitpunkt wiederholen$t_0\in[t_i,t_f]\,.$

II) Betrachten wir andererseits die Variationsrechnung. Die Aktion funktioniert

mit geeigneten Randbedingungen führt zur Euler-Lagrange (EL)-Gleichung , die die Bewegungsgleichung (EOM) ist .

III) Beachten Sie das

ist eine Gesamtzeitableitung , keine explizite Zeitableitung$\frac{\partial}{\partial t}$, sodass die EL-Gleichung (3) tatsächlich eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung (ODE) ist,

Nach dem Pfad lösen$q:[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$, sollte man zwei Anfangsbedingungen angeben, z.

Es stimmt zwar, dass die Funktion$\dot{q}(t)$ist die Ableitung der Funktion$q(t)$wrt Zeit, es ist nicht wahr, dass der Wert$\dot{q}$überhaupt mit dem Wert zusammenhängt$q$zu einem bestimmten Zeitpunkt, da ein Wert nur eine Zahl ist, keine Funktion. Die Aktion ist eine Funktion von$q(t)$, und daher würde es keinen Sinn machen, die Aktion sowohl bzgl$q$und$\dot{q}$. Aber der Lagrange$L(q,\dot{q})$ist eine Funktion der Werte$q$und$\dot{q}$, kein Funktional der Funktionen$q(t)$und$\dot{q}(t)$. Wir können fördern$L$zu einer Funktion der Zeit, wenn wir einstecken$q(t)$und$\dot{q}(t)$statt nur$q$und$\dot{q}$. (Denken Sie daran, dass eine Funktion eine Funktion in eine Zahl verwandelt, z. B.$S[q]$, während eine Funktion einen Wert in eine Zahl umwandelt, z.$L(q,\dot{q})$.

Zu lösen$q(t)$Wir extremisieren die Aktion$S$, indem er fordert, dass es an jedem Punkt extremal ist,$t$. Dies entspricht dem Lösen der Euler-Lagrange-Gleichungen an jedem Punkt$t$. Da an keiner Stelle$t$die Werte$q$und$\dot{q}$unabhängig sind, können sie unabhängig variiert werden.

Die Ableitung einer Funktion$f(t)$ist die Funktion$\dot{f}(t)$im Allgemeinen anders als$f$, und im allgemeinen Fall sind die beiden nicht einmal linear abhängig, was leicht zu sehen ist, wenn man die Taylorentwicklung nimmt. Erst nachdem man mit ihnen Differentialgleichungen definiert hat, werden sie algebraisch verknüpft, und das tut die Variationsrechnung.

Wenn wir eine Funktion haben$f(x,v)$, die partiellen Ableitungen sind definiert durch

Erinnern Sie sich in physikalischer Hinsicht daran, dass unser Ziel im Lagrange-Formalismus darin besteht, den richtigen Pfad im Konfigurationsraum zwischen zwei festen Orten herauszufinden. Ein Weg ist zu jedem Zeitpunkt durch einen Ort und eine Geschwindigkeit gekennzeichnet. Wir sind so allgemein wie möglich und betrachten wirklich alle möglichen Wege. Das bedeutet, dass wir alle möglichen Paarungen von Orten und Geschwindigkeiten berücksichtigen. Der körperliche klassische Weg ist aus zwei Gründen besonders:

• es ist eine Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung (= Extremum der Wirkung)
• die Orte und Geschwindigkeiten zu jedem Zeitpunkt sind miteinander verbunden$v \equiv \frac{dq}{dt}$. (Falls Sie es wollen,$v \equiv \frac{dq}{dt}$ist die zweite Gleichung, die wir im Lagrange-Formalismus benötigen, analog zu den zwei Hamilton-Gleichungen im Hamilton-Formalismus. Die zweite Hamilton-Gleichung definiert den kanonischen Impuls als Ableitung der Lagrange-Funktion. Für allgemeine Wege im Phasenraum ist jede Paarung von Ort und Impuls möglich. Nur für den physikalischen klassischen Weg finden wir kanonische Impulswerte, die als entsprechende Ableitung der Lagrangefunktion angegeben sind.)

Obwohl alle Antworten alle Details abzudecken scheinen, füge ich nur meine Behandlung für diejenigen hinzu, die gleichgesinnt sind wie ich und sie möglicherweise als vorteilhaft empfinden.

Es ist nützlich, das Symbol der partiellen Ableitung (in der Euler-Lagrange-Gleichung) in zwei verschiedene Teile zu zerlegen. Wir haben wirklich zwei verschiedene Gleichungen, die zu einer Gleichung verdichtet sind. Wenn$L(x,v,t)$dann

A priori haben Sie 3 unabhängige Koordinaten$(x_1, x_2, x_3)$um die Position anzugeben, und 3 unabhängige Koordinaten$(v_1,v_2,v_3)$um den Vektor an dieser Position anzugeben. Insgesamt haben Sie 6 unabhängige Koordinaten$(x_1,x_2,x_3,v_1,v_2,v_3)$das könnte jeden beliebigen Wert annehmen. Diese Koordinaten bedeuten, dass es einen Vektor gibt$(v_1, v_2, v_3)$an Stelle$(x_1,x_2,x_3)$.

Lagrange ist dann eine Funktion dieser Koordinaten$(x_1,x_2,x_3,v_1,v_2,v_3)$. A priori können alle diese Koordinaten jeden beliebigen Wert annehmen und werden daher als unabhängig betrachtet. Die Euler-Lagrange-Gleichung bezieht sich dann auf irgendeine Weise auf diese 6 Koordinaten. Jetzt$x$'s und$v$'s werden über diese Beziehung abhängig. Sobald Sie die Beziehung zwischen diesen Koordinaten erhalten haben, ersetzen Sie$v_i = \dot x_i$da ein Weg$x_i(t)$im Koordinatenraum entspricht einem Pfad$(x_i(t), \dot x_i(t))$in dem Raum, auf dem Lagrange definiert ist. Insgesamt haben Sie also zwei verschiedene Beziehungen zwischen$x$'s und$v$'s, eine, die Sie aus der Euler-Lagrange-Gleichung ableiten, und die andere, die Sie von Hand eingeben (nämlich$v_i = \dot x_i$). Sie können diese Beziehungen verwenden, um eine Differentialgleichung für zu erhalten$x_i(t)$wodurch Sie den Pfad erhalten können.

Das sieht man also$x$'s und$v$'s sind hier wirklich unabhängig. Wohingegen$x$'s und$\dot x$'s sind offensichtlich abhängig. Wenn Sie variieren$x(t)$durch$\delta x(t)$,$\dot x(t)$wird sich entsprechend ändern. Sie können überprüfen, ob wir diese Tatsache verwenden, wenn wir die Euler-Lagrange-Gleichung aus dem ersten Prinzip ableiten. Die Verwirrung entsteht, weil es im letzten Ausdruck so aussieht, als hätten wir sie als unabhängig betrachtet, aber wir behandeln sie in diesem Ausdruck wirklich nur als unabhängig. Also wenn$\dot x$Geschwindigkeit für dich ist, dann wird sie niemals unabhängig davon betrachtet$x$(nur in der Euler-Lagrange-Gleichung so behandelt). Doch wenn$v$Geschwindigkeit für dich ist, dann gilt sie zu Recht als unabhängig von$x$.

Bearbeiten: Im Allgemeinen das Symbol$v$definiert ist _$\dot x$. In meiner Behandlung ist es nur ein weiteres Symbol, das eine Komponente eines beliebigen Vektors bezeichnet. Wir erfinden kein neues Symbol, um Geschwindigkeit zu bezeichnen$\dot x$.